آشنایی با جبر از مقدماتی تا پیشرفته

جبر مجرد:

جبر مجرّد شاخه‌ای‌ست از ریاضیات که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه،حلقه، و میدان می‌پردازد. آغاز تعریف رسمی این گونه ساختارها به قرن نوزدهم (م) باز می‌گردد.

اصطلاح «جبر مجرّد» در برابر «جبر مقدّماتی» یا «جبر دبیرستانی» به‌کار می‌رود. در حدود نیمه اوّل قرن بیستم این رشته را «جبر مدرن» می‌نامیدند.

جبر مجرد مقدماتی،اشیاء و اعمال ریاضی را،فارغ از ماهیت آنها بررسی می کند. اعداد، توابع، ماتریسها،از عناصر آن و اعمال دوتایی ضرب،ترکیب توابع و ... از اعمال آن به شمار می آیند.دسته بندی گروهها و حلقه ها از موضوعات اساسی این شاخه به حساب می آیند.برخی شاخه های هندسی با جبر مجرد ارتباط پیدا می کنند.

جبر مقدماتی بهمراه جبر مجرد و جبر خطی سه شاخه ی اصلی دستگاه جبر را تشکیل میدهند

تجرید (Abstraction) در ریاضیّات از فرآیند تشخیص و استخراج یک جوهره و مفهوم ریاضی اصلی، کلّی، و فراگیر شروع می‌شود. چنانچه وجود و حضور این جوهره و مفهوم خاصّ در تک تک موارد جزئی مورد بررسی صادق باشد، امر اختصار و ساده‌تر کردن عبارات را می‌توان با جدا نمودن و حذف جزئیّات گوناگون از این لایه خاصّ ادامه داد.

برای مثال، می‌توان عبارت زیر را در نظر گرفت:

دو میز + دو کتاب + دو قلم + دو لیوان + دو دفتر + دو خط کش + ...

جهت اجراء فرایند تجرید، می‌شود مفهوم دو تا بودن را که در مورد همهء جمله‌ها صدق می‌کند، از میان برداشته و آنرا در لایه‌ی بالاتری قرار داد. عبارت فوق خواهد شد:

دو(میز + کتاب + قلم + لیوان + دفتر + خط کش + ...)

عبارت جدید کوتاه‌تر شده است، و مفهوم کلّی تر عدد دو بودن که در آن مجرّد و مجزا شده، هنوز هم به همهء جملات جزئی در درون پرانتز تعلّق دارد. همین کار را، حالا می شود با اعداد دیگر مثل سه، چهار، پنج، شش، و ... تکرار کرد. پس، تراز و لایه‌ای نو پدیدار گردیده‌است که در آن فقط مفاهیم مجردی به این صورت قرار دارد:

دو، سه، چهار، پنج، شش، ...

از خود می‌پرسیم، حالا چه جوهرهء مشترک کلّی‌تری را می‌شود از این لایهء جدید جدا کرد؟

         جواب: مفهوم عامّ‌تر و همه‌جا‌گیر‌تر عدد طبیعی بودن را؛ هر عدد طبیعیی بودن را.

        این همان شروع و آغاز جبر است. از همین نقطه است که مفهومی مجرّد و ذهنی موسوم به متغیّر تولّد می یابد.

==================================================

حلقه ها:

حلقه گروهی آبلی جمعی بانضمام نیمگروهی ضربی است که ضرب نسبت به جمع توزیع‌پذیراعداد صحیح این ویژگی را دارند. اگر نیمگروه ضربی مونوئید باشد حلقه را یکدار گوییم و اگر جابجایی باشد حلقه را جابجایی گوییم باشد.

حلقه های جابجایی یا تعویض پذیر:

حلقه‌ای را که در آن عمل ضرب خاصیت جابجایی داشته باشد، حلقه جابجایی می‌گویند.

===========================================================

نظریه حلقه ها- اعداد صحیح

مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی ، و {0} (مجموعهصفر عضو آن است) گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعهرا با Z یا شمارای نامتناهی‌ست. ای که تنها عدد (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ

شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.

 خواص جبری

همانند اعداد طبیعی،  نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به  تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند:)

مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّتتوزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که  نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروهنمی‌سازد.

مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقهمیدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد. است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی،

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدسبزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد. برای محاسبه

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد،  یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه  دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)

گروه آبلی:

‫گروه آبلی یا گروه جابجایی‌پذیر یا گروه جابجایی، در ریاضیات، به مجموعه‌ای مانند G می‌گویند که دارای عملگری مانند * باشد و این عملگر در مجموعه G دارای خاصیت جابجایی باشد، یعنی برای هر a و b در G داشته باشیم: a * b = b * a‫در این صورت می‌گوییم (*,G) «گروه آبلی» است

گروه:

گروه در ریاضیات مجموعه‌ای است به همراه یک عمل دوتائی، مانند جمع یا ضربکه در مورد اعضای آن مجموعه تعریف شده است. مثلاً مجموعه اعداد صحیحهمراه با عمل جمع (یا به اصطلاح رایج ریاضی‌دان‌ها "تحت عمل جمع") یک گروه است. آن بخش از ریاضیات که به بررسی ویژگی‌های گروه‌ها می‌پردازد نظریه گروه‌ها نام دارد.

گروهها به دو دسته متناهی و نامتناهی تقسیم میشوند.از جمله مفاهیم مربوط به آنها،گروه آبلی،گروه دوری،زیرگروه(مشابه زیر مجموعه) و غیره است. در واقع نظریه گروهها نوعی تعمیم از نظریه مجموعه ها است.وقتی یک گروه را با دو عمل دوتایی بهمراه برخی ویژگیها در نظر بگیریم،وارد حلقه ها و میدانها میشویم

هم مجموعه ها:

هم مجموعه ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آنها بر خورد می‌کنیم

 تعریف هم مجموعه:

مفهوم هم مجموعه در حقیقت یک بیان کلی است و هم مجموعه‌ها بر دو نوع هم مجموعه راست و هم مجموعه چپ تعریف می‌شوند.

هم مجموعه راست:

فرض کنید G یک گروه و H زیرگروهی از G باشد. رابطه  موسوم به رابطه راست همنهشتی (یا برای تاکید، رابطه راست همنهشتی به هنگ H) را روی G به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

به سادگی می‌توان تحقیق کرد که این رابطه یک رابطه هم ارزی روی G تعریف می‌کند. حال برای هر g∈G کلاس هم ارزی g نسبت به رابطه راست همنهشتی را با [g] نشان می‌دهیم و داریم:

پس:

حال با تغییر در نماد گذاری قرار می‌دهیم:

این مجموعه را اصطلاحاً، هم مجموعه(هم دسته) راست H در G تولید شده توسط g می‌گوییم.

تعریف:

اگر H زیرگروهی از گروه G باشد، برای هر g∈G، مجموعه {Hg={hg:h∈G را یک هم مجموعه راست H در G تولید شده توسط عضو g می‌گوییم.

با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a,b∈G داریم:

توجه داشته باشید که خود H نیز یک هم مجموعه راست G است چون H=He.

توضیح نمادگذاری:

از آنجا که دو نماد گذاری جمعی(+) و ضربی(.) برای نمایش عمل یک گروهوجود دارد می‌توان رابطه راست هم نشهتی را با نماد جمعی نیز تعریف نمود که در این صورت خواهیم داشت:

و

به عنوان مثال گروه {Z4 = {0, 1, 2, 3 را در نظر بگیرید. {H={0,2 زیرگروهی از Z4است. در این صورت هم مجموعه‌های راست H در G عبارت‌اند از:

• {H+0={0,2
• {H+1={1,3

وضوحاً لازم به محاسبه H+2 و H+3 نیست چون هر یک از آنها بنابر خواص پیش تر ذکر شده به ترتیب با H+0 و H+1 برابر هستند.

در مثال فوق مشاهده می‌کنید که تعداد اعضای هم مجموعه‌های راست متمایز H در G با هم برابر است. آیا همواره چنین است؟ قضیه زیر به این پرسش پاسخ مثبت می‌دهد.

قضیه:

فرض کنید H زیرگروهی از گروه G باشد. در این صورت بین هم مجموعه‌های راست متمایز H در G یک تناظر یک به یک برقرار است.

برهان:

فرض کنید Ha,Hb دو هم مجموعه راست متمایز H در G باشند. تابع φ(ha) = hb تعریف می‌کنیم. در این صورت به آسانی می‌توان تحقیق نمود که این تابع یک تناظر یک به یک(تابعی یک به یک وپوشا) از Ha به Hb است و برهان قضیه کامل می‌شود. را با ضابطه برای هر ha∈Ha،

این مطلب نتیجه‌ای مهم و در عین حال ساده در بر دارد و آن این است که چون خود H نیز یک هم مجموعه راست G است، برای هر g∈G تعداد اعضای Hgبا تعداد اعضای H برابر است. یعنی تعداد عناصر همه هم مجموعه‌های H در G برابر با تعداد عناصر H است. این مطلب خصوصاً در اثبات قضیه لاگرانژ نقش اساسی ایفا می‌کند.

هم مجموعه چپ:

طبیعی است که همانطور هم مجموعه راست زیرگروه H از گروه G را تعریف کردیم، هم مجموعه چپ آن را نیز تعریف کنیم. برای این منظور رابطه  موسوم به رابطه چپ همنهشتی(یا برای تاکید، رابطه چپ همنهشتی به هنگ H)، را رویگروه G به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

در این صورت همانند رابطه راست همنهشتی، این رابطه نیز یک رابطه هم ارزی در G است و برای هر g∈G کلاس هم ارزی g عبارت است از:

که باز با تغییر نماد گذاری این مجموعه را با

نشان می‌دهیم و آن را یک هم مجموعه چپ H در G تولید شده توسط g می‌گوییم.

تعریف:

اگر H زیرگروهی از گروه G باشد، برای هر g∈G، مجموعه {gH={gh:h∈G را یک هم مجموعه H در G تولید شده توسط عضو g می‌گوییم.

با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a,b∈G داریم:

توجه داشته باشید، چون eH=H پس H نیز یک هم مجموعه چپ در G است.

همانطور که میان هم مجموعه‌های راست H در G، تناظر یک به یک برقرار است میان هم مجموعه‌های چپ H در G نیز یک تناظر یک به یک برقرار است. به عبارت دقیق تر اگر aH,bH دو هم مجموعه چپ متمایز H در G باشند، تابع  با ضابطه برای هر ah∈aH، φ(ah) = bh یک تناظر یک به یک است.

بنابراین دیدم که چگونه با تعریف یک رابطه هم ارزی روی گروه G هم مجموعه‌های راست و چپ را به عنوان کلاس‌های هم ارزی تعریف کردیم. نکته جالب توجه این است چون یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه، آن مجموعه را به کلاس‌های هم ارزی خود افراز می‌کند، که اگر H زیرگروه گروه G باشد، در این صورت مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز H در G(راست یا چپ) یک افراز برای G می‌باشند. این مطلب اساس قضیه لاگرانژ را تشکیل می‌دهد.

 رابطه بین هم تعداد هم مجموعه‌های راست و چپ

نکته جالب و در مورد هم مجموعه‌های راست و چپ زیرگروه H از گروه G این است که تعداد آنها با هم برابر است. به عبارت دقیق تر قضیه زیر را داریم.

قضیه:

اگر H زیرگروه گروه G باشد، بین هم مجموعه‌های متمایز راست H در G و هم مجموعه‌های متمایز چپ H در G، یک تناظر یک به یک برقرار است.

برهان

فرض می‌کنیم  مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز راست H در G و  مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز چپ Hدر G باشد. در این صورت تابع  با ضابطه برای هر Ha∈R φ(Ha) = a − 1H تابعی یک به یک و پوشا است و برهان کامل می‌شود.

این مطلب نشان می‌دهد در بسیاری از موارد در اثبات قضایا و تعاریف، تفاوت چندانی میان هم مجموعه‌های راست و چپ H در G وجود ندارد. یک نمونه از این موارد تعریف اندیس زیرگروه است.

 اندیس زیرگروه:

اگر G یک گروه و H زیرگروهی از G باشد، در این صورت تعداد هم دسته های(راست یا چپ) H در G را اندیس یا شاخص H در G می‌گوییم و آن را با نماد‌های [G:H] یا (iG(H نشان می‌دهیم.

 زیرگروه‌های نرمال:

از جمله مهم‌ترین مفاهیم در نظریه گروه‌ها زیرگروه نرمال می‌باشد که به کمک هم مجموعه‌ها تعریف می‌شوند.

فرض کنید G یک گروه باشد. در این صورت رده‌ای از زیر گروه‌های G دارای این ویژگی هستند که هم مجموعه‌های راست و چپ آنها به ازای هر عضو G یکسان است. این زیرگروه‌های خاص از G را زیرگروه‌های نرمال می‌نامیم.

بنابر این زیرگروه H از گروه G را نرمال می‌گوییم اگر برای هر g∈G داشته باشیم gH=Hg.

=========================================================

تعریف:

در جبر به یک میدان بسته گویند اگر تمام چند‌جمله‌ای‌هایی که ضرایبش از اعضای میدانند، حداقل یک ریشه داخل میدان داشته‌باشند

قضیه لاگرانژ:

قضیه لاگرانژ در نظریه گروه‌ها از جمله قضایای مهم است. این قضیه بیان مرتبه هرزیرگروه از یک گروه متناهی، مرتبه آن گروه را عاد می‌کند.

این قضیه بعد از ژوزف لویی لاگرانژ نامگذاری شده‌است.

 تاریخچه:

در حقیقت لاگرانژ این قضیه را اثبات نکرده‌است و تنها حالتی خاص از آن را کشف کرده‌است. لاگرانژ هنگامی که برروی چندجمله ایها کار می‌کرد، در یافت که اگر متغیرهای یک چندجمله‌ای n متغیره را به !n حالت ممکن جایگشت دهیم، تعداد چندجمله‌ای‌های متمایز تولید شده حاصل از جایگشت‌ها !n را عاد می‌کند. به عنوان مثال در چندجمله‌ای سه متغیره x+y-z تعداد کل حالات جایگشت متغیرها برابر !۳=۶ است که از این تعداد تنها سه حالت یعنی x+y-z,x+z-y,y+z-x حالات متمایز هستند و دقت کنید که ۳ عدد ۶ را عاد می‌کند.

بنابراین لاگرانژ قضیه را برای گروههای متقارن به اثبات رسانید، اما با پیشرفتجبرمجرد و نظریه گروه‌ها این نتیجه به گروه‌های متناهی تعمیم داده شد.

قضیه لاگرانژ:

اگر G گروهی متناهی و H زیرگروهی از G باشد، آنگاه مرتبه H مرتبه G را عاد می‌کند یعنی |H|||G|.

طرح برهان قضیه لاگرانژ:

اثبات قضیه لاگرانژ ساده‌است و با استفاده از هم مجموعه‌های H در G ثابت می‌شود. برای اثبات می‌توان از هم مجموعه‌های راست یا چپ استفاده کرد که ما در اینجا از مورد اول استفاده می‌کنیم.

می‌دانیم که اگر G یک گروه باشد و H زیرگروهی از G در این صورت G را می‌توان به مجموعه همه هم مجموعه‌های راست متمایز H در G افراز نمود. بعلاوه چون Gمتناهی است پس هم مجموعه‌های متمایز H در G نیز متناهی است که این تعداد برابر است با اندیس H در G(اندیس H در G تعداد هم مجموعه‌های متمایز H در G هستند) که آن را با [G:H] نشان می‌دهیم.

از طرفی توجه می‌کنیم بنابر خواص هم مجموعه‌های H در G، می‌دانیم برای هر g∈G، داریم |H|=|Hg|. یعنی تعداد عناصر تمام هم مجموعه‌های H در G برابر تعداد اعضای H است.

بنابر آنچه گفته شد نتیجه می‌شود مجموعه G را می‌توان به [G:H] زیرمجموعه که هر یک |H| عضو دارند افرا کرد. پس:

| G | = [G:H] | H |

ولذا مرتبه H یعنی |H| مرتبه G یعنی |G| را عاد می‌کند و برهان کامل می‌شود.

 وجود زیرگروهها از مرتبه خاص:

بنابر آنچه گفته شد، ممکن است این سوال به ذهن خطور کند که آیا عکس قضیه لاگرانژ نیز برقرار است. یعنی اگر G گروهی متناهی باشد، آیا G به ازای هر مقسوم علیه مرتبه خود چون n زیرگروهی از مرتبه n دارد؟

پاسخ این پرسش در حالت کلی برای گروه G منفی است. برای رد این مطلب می‌توان گروه متناوب از مرتبه ۱۲ یعنی A۴ را به عنوان مثال نقض در نظر گرفت. با وجود این که ۶ یک مقسوم علیه ۱۲ است ولی این گروه هیچ زیرگروهی از مرتبه ۶ ندارد.

در حقیقت برای برقراری عکس قضیه لاگرانژ به شرایط اضافی نیازمندیم. به عنوان نمونه اگر G گروهی آبلی متناهی باشد در این صورت عکس قضیه لاگرانژ در مورد G صدق می‌کند یعنی اگر G گروهی آبلی و متناهی باشد و n یک مقسوم علیه مرتبه G باشد، G دارای زیرگروهی از مرتبه n است.

همچنین قضایای سیلو و قضیه کوشی برای گروه‌های آبلی متناهی به بررسی این گروه‌های خاص می‌پردازند.

 نتایج و کاربردهای قضیه لاگرانژ:

از قضیه لاگرانژ می‌تواننتیجه گرفت اگر G گروهی متناهی از مرتبه n باشد و x∈G آنگاه xn=e.

برای اثبات این مطلب زیرگروه دوری تولید شده توسط x یعنی را در نظر می‌گیریم. فرض می‌کنیم از مرتبه m باشد. در این صورت قضیه لاگرانژ ایجاب می‌کند که m|n پس عدد صحیح k وجود دارد که n=mk.

از طرفی m مرتبه عضو(کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت که اگر x به توان آن برسد حاصل عضو خنثی گروه G شود) x است پس xm=e

بنابراین:

xn = xmk = (xm)k = ek = e

این نتیجه علاوه بر کاربردهایش در مورد گروه‌ها، برای ارائه برهانی جبری برای قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر استفاده می‌شود. نظریه اعداد در مورد همنهشتی‌های جبری وجود دارد که نباید آن را با این قضیه اشتباه گرفت.

==========================================================

قضیه اساسی جبر:

قضیه اساسی جبر: هر چندجمله‌ای نا ثابت با ضرائب مختلط دارای حداقل یکریشه مختلط اعداد مختلط یک میدان بسته جبری است. است.

نتیجه: هر چندجمله ای ناصفر با ضرائب مختلط و از درجه n دارای دقیقا n ریشه مختلط است. این قضیه را کارل فردریش گاوس ریاضی‌دان شهیر آلمانی، در ۲۰ سالگی به عنوان رساله‌ی دکترا اثبات نمود

 تاریخچه:

نظریه گروهها به‌وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد،هندسه و آنالیزژوزف لویی لاگرانژ برروی معادلات چند جمله ای پابه گذاری شد.رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال 1770 با کارهای

نظریه اعداد به‌وسیله کارل فردریش گاوس در سال 1801 مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی.اف.کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروهها کارهای بسیار انجام داده است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروهها می دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره،اس.لی لای وسی.اف کلاین هستند.

به هر حال اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)،لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروهها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالواقضیه اساسی خود که رابطی بین گروهها و حلقه ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می خوانند بسیار مورد توجه است. بدلیل

اولین کاربرد گروهها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشه های یک معادله چند جمله ای بوده است که به‌وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.

او کشف کرد که ریشه های همه مواردی را که او امتحان کرده است توابعی گویا از ریشه های معادلات متناظرشان هستند. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروهها برداشت.

بعد از او گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروهها در سن 18 سالگی(1829)منتشر ساخت. اما کمک های او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال 1846 مورد توجه قرار نگرفت.

بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروهها کار می کردند می توان برتراند،چارلز هرمیت، فروبنیوس ولئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.

تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال 1854کیلی اولین اصول موضوع را برای گروهها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال 1870، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروهها پایه گذاشت. همچنین اچ.وبر در سال 1882، تعریفی برای گروهای متناهی و در سال 1883 تعریفی برای گروههای نامتناهی انجام داد.

والتر فون دایک در سال 1882 اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد. مطالعهگروههای لای و زیرگروههای گسسته شان و گروههای تبدیلی در سال 1884 به طور منظم توسط سوفوس لای شورع شد.

امروزه نظریه گروهها به بنیادی ترین نظریه ها در جبر مجرد تبدیل شده است و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.

 تعریف گروه:

ابتدا یادآوری می کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده است. گروه نیز از جمله ساختمان های جبری است.

ساختمان جبری (G, * ) (مجموعه G به همرا عمل دوتایی *) یک گروه است هرگاه واجد شرایط زیر باشد:

1. عمل * در G شرکت پذیر باشد. یعنی برای هر a,b,c∈G داشته باشیم a*(b*c)=(a*b)*c.
2. G نسبت به عمل * دارای عضو خنثی باشد، یعنی عضوی چون e∈G موجود باشد که برای هر a∈G، داشته باشیم a*e=e*a=a.
3. هر عضو G نسبت به عمل * دارای عضو معکوس باشد، یعنی برای هر a∈G عضوی چون b∈G موجود باشد که a*b=b*a=e.

منشائ این اصول بر حسب تجربه و متأثر از تاریخ مطالعه گروهها است.

در تعریف یک گروه لازم نیست که عمل تعریف شده در گروه G، جابجایی(تعویض پذیر) باشد اما برخی از گروهها دارای این خاصیت هستند. این گروهها از اهمیت ویژه ای برخودارند و به افتخار نیلز هنریک آبل گروه های آبلی نامیده می شوند.

همچنین گروه G دارای تعداد متناهی عضو باشد، G را گروه متناهی می گوییم. به تعداد عناصر یک گروه مرتبه گروه می گوییم.

• قرار داد: همانطور که در مورد هر ساختمان جبری عمل می شود برای سهولت در نوشتن، بجای a*b می نویسیم ab.

 زیرگروه:

زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G می گوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد می نویسیم .

با توجه به این تعریف اگر H زیرمجموعه ای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:

1. H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈H
2. H تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a-1∈H

توجه داشته باشید که خاصیت شرکت پذیری خود به خود برقرار است.

 مرتبه گروه:

به تعداد عناصر هر گروه مرتبه آن گروه می گوییم. اگر تعداد عناصر یک گروه متناهی باشد، می گوییم ان گروه از مرتبه متناهی یا متناهی است و در غیر این صورت گروه را نامتناهی می نامیم.

مرتبه گروه G را با |G| نشان می دهیم.

قضیه لاگرانژ در مورد گروههای متناهی بیان می کند، مرتبه هر زیرگروه از یک گروه، مرتبه آن گروه را عاد می کند. یعنی اگر H زیرگروهی از گروه متناهی G باشد آنگاه

| H | | | G |

 گروه دوری:

گروه G را دوری می گوییم هرگاه x∈G موجود باشد، که را زیرگروه دوری G می گوییم.

 نمونه هایی از گروههای مهم:

مثالهای زیادی از گروهها وجود دارد. یه عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع یک گروه است که آبلی نیز می باشد. در این قسمت چند نمونه از گروهها را که معمولاً در بررسی ها مورد استفاده قرار می گیرند را معرفی می کنیم. خواننده می تواند گروه بودن هر نمونه را بررسی کند.

• گروه چهارتایی کلاین

فرض کنید {V={a,b,c,d d یک مجموعه چهارعضوی باشد. عمل * را روی V به صورت زیر تعریف می کنیم:

در این صورت V گروهی آبلی و متناهی به نام گروه چهارتایی کلاین تشکیل می دهد.

• گروه اعداد صحیح به هنگ m:

می دانید اگر m عددی طبیعی باشد، رابطه همنهشتی به هنگ m یا  یکرابطه هم ارزیاعداد صحیح  تعریف می کند که مجموعه خارج قسمتآن(مجموعه همه کلاس های هم ارزی رابطه هم ارزی) را با  نشان می دهیم. اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم ارزی a را با  نشان دهیم، در این صورت: روی مجموعه

حال عمل ⊕ موسوم به جمع نیمی یا جمع با پیمانه m را به صورت

تعریف می کنیم. در این صورت خواننده آشنا با نظریه همنهشتی به سادگی می تواند بررسی کند که  به همراه عمل ⊕ یک گروه است.

به همین صورت گروهی دیگری را به همراه عمل ضرب به پیمانه m با کمی تغییر می تواند ساخت.

• در هر گروه عضو خنثی یکتاست.
• در هر گروه معکوس هر عضو یکتاست.

با توجه به این قضیه اگر G یک گروه باشد و a∈G معکوس a را با a − 1 نشان میدهیم.

• اگر G یک گروه باشد و a∈G آنگاه (a − 1) − 1 = a
• اگر G یک گروه باشد و a,b∈G آنگاه (ab) − 1 = b − 1a − 1واگر G آبلی باشد، (ab) − 1 = a − 1b − 1
• اگر G یک گروه باشد و a,b,c∈G آنگاه:
• اگر ac=bc آنگاه a=b (قانون حذف از راست)
• اگر ca=cb آنگاه a=b (قانون حذف از چپ)

 قضایای مهم در نظریه گروهها

• قضیه لاگرانژ: اگر G یک گروه متناهی و H زیرگروه G باشد، مرتبه H مرتبه G را عاد می کند.
• قضیه پوانکاره: اگر G یک گروه باشد و K,H زیرگروههای G بااندیس متناهی در G باشند،
• قضیه کیلی:هر گروه G با زیرمجموعه ای از گروه متقارن روی G ایزومورف است.
• قضایای سیلو
• قضایای ایزومورفیسم
• لم جوردن-هولدر

کاربرد گروهها:

گروه ها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و ... دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروهها برای طبقه بندی ساختار بلورها و چندوجهی های منظم، تقارن های ملکولی استفاده می کنند.

بعلاوه از گروهها در زمینه رمزنگاری و مسایل امنیتی نیز استفاده فراوان می شود.

همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروههای نرمالف گروههای آبلی و ... در شاخه های گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری،توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری،نظریه جبری اعداد و.. استفاده می شود.

 اصطلاحات موجود در نظریه گروهها

• عمل دوتایی
• گروه آبلی
• زیرگروه
• مرکز گروه
• هم مجموعه ها
• مرکز ساز گروه
• نرمال ساز گروه
• زیرگروه نرمال
• مرتبه گروه
• مرتبه عضو
• گروه دوری
• گروه خارج قسمت
• گروه متقارن
• همومورفیسم
• قضایای ایزومورفیسم
• حاصل ضرب مستقیم
• تزویج
• معادله کلاسی
• قضیه کیلی
• قضیه لاگرانژ
• قضیه کوشی
• قضایای سیلو

عمل دوتایی:

 آشنایی:

شاید تابه حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می دهند.

مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید "ب"، "آ" و دانش آموزان باهم فریاد می‌زنند "با". این بار معلم می‌گوید "ب"، "و" و اینبار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند "بو" و یا در مثالی دیگر در طبیعت ملکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد.

این ها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آنها دو عنصر شرکت کننده عنصر سومی را پدید می‌آورند.

اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهم‌ترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آنها را بررسی می‌کنیم.

 عمل دوتایی

یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون  از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو یکتا چون C از G را نسبت می‌دهد.

لازم به یادآوری است که G×G حاصل ضرب دکارتی G در خودش است.

با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعهناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:

• عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
• عمل دوتایی * یک تابع خوش‌ تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو G×G عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.
• حاصل ترکیب دو عضو (a,b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
• عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی G می‌شود، معمولاً با * یا ° نمایش میدهیم.

برای نمایش اینکه، * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*,G) و برای هر (a,b) عضو G×G، حاصل عمل * روی زوج مرتب (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولاً برای سهولت در نوشتن a*b را نیز به صورت ab می‌نویسیم.

همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه‌ را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان می‌دهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد.

اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b یا ab نشان می‌دهیم.

 مثال هایی از اعمال دوتایی

• مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید، عمل * را روی  را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

که همان عمل جمع اعداد صحیح است و به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.

• مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است:

اما عمل فوق در اعداد صحیح و اعداد گویا عمل دوتایی نمی‌باشد. زیرا به عنوان مثال

یا

ولی در مجموعه اعداد حقیقی عمل فوق ، یک عمل دوتایی است.

• عمل * را در مجموعه دلخواه A</stron