همگرایی یک سری - انجمن دبیران ریاضیات

همگرایی یک سری

۱۴ آبان

همگرایی یک سری

قضیه:

نشان دهید که اگر $\sum({a_n})^2$ همگرا باشد، آنگاه سری؛ $\sum\frac{a_n}{n}$ نیز همگرا است.

اثبات:

اگر $|a_n| \geq \dfrac {1} {n}$ سپس $\left | \dfrac {a_n} {n} \right | \leq a_n^2$ ، در حالی که اگر $|a_n| \leq \dfrac {1} {n}$ سپس $\left | \dfrac {a_n} {n} \right | \leq \dfrac {1} {n^2}$ است. از این رو $\sum \left | \dfrac {a_n} {n} \right | \leq \sum \max\left \{a_n^2, \dfrac {1} {n^2}\right \} < \sum a_n^2 + \sum \dfrac {...$ ، بنابراین این سری، کاملا همگرا است.

نویسنده مطلب: Meysam Zarei

پاسخ دهید

هیچ نظری تا کنون برای این مطلب ارسال نشده است، اولین نفر باشید...