یافتن انتگرال به روش بازگشتی! - انجمن دبیران ریاضیات

یافتن انتگرال به روش بازگشتی!

۰۹ آبان

یافتن انتگرال به روش بازگشتی!

یافتن انتگرال:

$I=\int\frac{\ln^n(x)-n!}{\ln^{n+1}(x)}dx.$

برای $n=1$ :
$\frac{x}{\ln(x)}+C$ برای $x>0$ است.

برای $n=2$ :
$\frac{x}{\ln(x)^2}+\frac{x}{\ln(x)}+C$

تعمیم:
$I_{n}=\int (\ln x)^{-n}\ dx = x \cdot (\ln x)^{-n} + n \int x \cdot (\ln x)^{-n-1}\cdot \frac{1}{x}\ dx$
$I_{n}=x \cdot (\ln x)^{-n} + n \cdot I_{n+1} \quad\quad\quad I_{n+1}= \frac{I_{n}-x \cdot (\ln x)^{-n}}{n}$
بازگشت به سوال:
$I=\int\frac{(\ln x)^{n}-n!}{(\ln x)^{n+1}}\ dx = \int \frac{1}{\ln x}\ dx - n! \cdot I_{n+1}$
$I = \int \frac{1}{\ln x}\ dx - n! \cdot \frac{I_{n}-x \cdot (\ln x)^{-n}}{n}$
$I = (n-1)!\frac{x}{(\ln x)^{n}} + \int \frac{1}{\ln x}\ dx- (n-1)! \cdot I_{n}$

نویسنده مطلب: Meysam Zarei

پاسخ دهید

هیچ نظری تا کنون برای این مطلب ارسال نشده است، اولین نفر باشید...