چند جمله ای صحیح

فرض کنید $a,b,$ و $c$ سه عدد صحیح متمایز، و $P$ یک چند جمله ای با ضرایب عدد صحیح. نشان دهید که غیر ممکن است که $P(a) = b, P(b) = c,$ و $P(c) = a$ باشد.

$a,b,c \in \mathbb{Z}$ و $a,b,c$ متمایز است.
از آنجایی که ما $P[\mathbb{Z}]$ ، فرض کنید ما با شرایط داده شده به exisitng به طوری که
$a-b | b-c$
$b-c | c-a$
$c-a | a-b$ است.
همانطور که ما در برخورد بیش از اعداد صحیح،
$2b\ge c+a$
$2c\ge a+b$
$2a\ge b+c$
با این حال نشان میدهد equaltiy در همه جا و در نتیجه تناقض است.

فرض کنید که $a < b < c$ است. سپس $|P(a) - P(c)| = |b-a|< |a-c|$ ، یک تناقض است.
بعد، فرض کنید که $b < a < c$ است. سپس $|P(b) - P(c)| = |c - a| < |c-b|$ ، همچنین یک تناقض است.

توجه داشته باشید که این هر دو تناقضات هستند چون $|a-c|$ تقسیم $|P(a) - P(c)|$ و $|c-b|$ تقسیم $|P(b) - P(c)|$ است.

با استفاده از این واقعیت شناخته شده است که $(a-b)\mid P(a)-P(b)$ ما دریافت می کنید

$\frac{P(a)-P(b)}{a-b}=\frac{b-c}{a-b}=k_1$

$\frac{P(b)-P(c)}{b-c}=\frac{c-a}{b-c}=k_2$

$\frac{P(c)-P(a)}{c-a}=\frac{a-b}{c-a}=k_3$

که در آن $k_i$ جدایی ناپذیر است.

ضرب معادلات اول و آخر ما $\left(\frac{P(a)-P(b)}{a-b}\right)\left(\frac{P(c)-P(a)}{c-a}\right)=\frac{b-c}{c-a}=k_1k_3.$ اما $\frac{b-c}{c-a}=\frac{1}{k_2}$ ، بنابراین تنها راه برای $k_2$ به یک عدد صحیح است اگر $|k_2|=1$ است. به همین ترتیب ما دریافت کنید که $|k_1|=|k_3|=1$ است. اگر یکی از $k_1,k_2,k_3$ -1 است، WLOG می گویند $k_1$ ، و سپس $\tfrac{b-c}{a-b}=-1\iff{b-c=-a+b}\iff{a=c}$ ، تناقض است. بنابراین، $k_1,k_2,k_3$ همه برابر با 1، و متصل کردن این در آن شرح زیر است که $2a=b-c$ ، $2b=c-a$ و $2c=a-b$ است. حل این سیستم عملکرد $a=b=c=0$ ، اما $a,b,c$ اعداد صحیح متمایز تعریف، یک تناقض است.