نابرابری؛ مسائل حل نشده

اگر $a,b,c \geq 0$ اثبات یا رد آن
$\frac{a}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b}{a^{2} +c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{9}{2 * (a + b + c)}$

در مورد: $\ a=b=1, c=0$ این بیانیه درست نیست.
اما من این کار را به هر حال
در ابتدا، من سعی کردم در این راه $\ \frac{a}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b}{a^{2} +c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{9}{2 * (a + b + c)} \rightarrow \sum \fra...$
استفاده از کوشی شوارتز، $\ \sum \frac{2a}{(b+c)^2} * \sum (a+b)^2 \geq \sum \frac{2a(b+c)^2}{(b+c)^2} = 2(a+b+c)$
که در نهایت سوال منشاء معلوم می شود: ثابت به شرح زیر است: $\ 2(a+b+c) \geq \frac{9}{2(a+b+c)}*\sum (a+b)^2$
سپس ما را دریافت کنید: $\ 4(a+b+c)^2 \geq 9\sum (a+b)^2$
$\ \rightarrow (\frac{2}{3}(a+b+c))^2 \geq \sum (a+b)^2$ هنگامی که هر یک از ${a,b,c}$ است $0$ ، بیانیه ای است که به وضوح درست نیست.
ما ممکن است این عدد را تغییر دهید $9$ در سمت راست از منشاء ineq به $1$
بنابراین ما می توانیم $\ (2(a+b+c))^2 \geq \sum (a+b)^2 \Rightarrow$
$\ LHS = ((a+b)+(b+c)+(c+a))^2 = (\sum (a+b))^2 \geq \sum(a+b)^2 = Right$

###############################################################

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{b^{2}+c^{2}}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$a>0,b>0,c>0.$ ثابت کنیم که $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq\frac{3\sqrt3}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$
اگر چنین است، پس:
اجازه دهید $a^2+b^2+c^2=3.$
از این رو، $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq\frac{3\sqrt3}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\Leftrightarrow\sum\frac{a}{3-a^2...$
$\Leftrightarrow\sum(\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}(a^2-1)-\frac{1}{2})\geq0\Leftrightarrow\sum\frac{a(a+2)(a-1)^2}{3-a^2}\geq0.$

http://anymath.ir

انجمن دبیران ریاضیات

انجمن دبیران ریاضیات

نابرابری؛ مسائل حل نشده

نویسنده مطلب: Meysam Zarei

پاسخ دهید