تابع موبیوس

تابع موبیوس تابع نظریه شماره تعریف شده توسط

$مو (N) = {0 اگر n یک یا چند عامل مکرر نخست 1 اگر N = 1؛ (-1) ^ K اگر n یک محصول از اعداد اول متمایز K است،$

(1)

پس

نشان می دهد که squarefree (Havil 2003، ص 208). چند مقدار اول بنابراین 1، ، ، 0، ، 1، ، 0، 0، 1، ، 0، ... (اسلون A008683 ). به طور مشابه، چند مقدار اول برای ، 2، ... 1، 1، 1، 0، 1، 1، 1، 0، 0، 1، 1، 0، ... (اسلون A008966 ).

تابع موبیوس (1832) معرفی شد، و نماد برای اولین بار توسط Mertens (1874) مورد استفاده قرار گرفت. با این حال، گاوس تابع موبیوس در نظر گرفته بیش از 30 سال قبل از موبیوس، نوشتن "مجموع تمام ریشه های اولیه [تعداد نخست است یا (هنگامی که یک مربع بخش)، یا (وزارت دفاع ) (هنگامی که محصول از اعداد نابرابر نخست است، در صورتی که تعدادی از این است که حتی نشانه مثبت است، اما اگر عدد فرد باشد، علامت منفی است) "(گاوس 1801 Pegg 2003).

تابع موبیوس در اجرا ریاضیات به عنوان MoebiusMu [N].

تابع summatory از تابع موبیوس

(2)

است که به نام تابع Mertens .

جدول زیر به چند مقدار اول برای ، 0، و 1. ارزش اول اعداد صحیح در بالا رسم شبکه، که در آن مقادیر با با رنگ قرمز نشان داده شده است، در سیاه و سفید نشان داده شده است، و به رنگ آبی نشان داده شده است. پاک کردن الگوهای ظهور که در آن تقسیم عددی بر مضرب اعداد هر سهم یک یا چند عامل مکرر.

	اسلون	مقادیر
	A030059	2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 30، ...
0	A013929	4، 8، 9، 12، 16، 18، 20، 24، 25، 27، 28، ...
1	A030229	1، 6، 10، 14، 15، 21، 22، 26، ...

تابع موبیوس تا به توابع

(3)

برای (Nagell 1951، ص 130). این محصول به شرح زیر با در نظر گرفتن یکی از بیش از اویلر محصول و گسترش شرایط برای به دست آوردن

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

(داربیشر سال 2004، صص 245-249).

که تابع مولد اضافی داده شده است

(9)

برای است. همچنین اطاعت از مبالغ نامحدود

			(10)
			(11)
			(12)
$sum_ (n = 1) ^ (کلیت) (chi_ ({N: مو (N) = -1})) / (N ^ 2)$			(13)
$sum_ (n = 1) ^ (کلیت) (chi_ ({N: مو (N) = 1})) / (N ^ 2)$			(14)

(اسلون A082020 ، A088245 و A088245 ؛ 2003 Havil، ص 208)، و همچنین مجموع مقسوم علیه

(15)

جایی که است که تعداد عوامل نخست مجزا از (هاردی و رایت 1979، ص 235).

همچنین ارضا محصول نامحدود

(16)

برای (بلمن 1943؛ باک 1944؛، Pólya و Szegö 1976، ص 126. رابینز سال 1999). معادله (◇) به عنوان "عمیق" به عنوان قضیه عدد اول (لاندو 1909، صص 567-574؛ لاندو 1911؛ هاردی 1999، ص 24).