http://anymath.ir

انجمن دبیران ریاضیات

آموزش مجازی ریاضیات مدارس و دانشگاه های کشور

تابع موبیوس

نوشته شده توسط: Meysam Zarei در ۰۸ آبان ۱۳۹۲ ساعت ۱۵:۵۰
دسته بندی:  آموزش مجازی» آموزش دانشگاهی

 

 MobiusFunction

تابع موبیوس تابع نظریه شماره تعریف شده توسط

مو (N) = {0 اگر n یک یا چند عامل مکرر نخست 1 اگر N = 1؛ (-1) ^ K اگر n یک محصول از اعداد اول متمایز K است،
(1)

پس

مو (N) = 0! نشان می دهد که N squarefree (Havil 2003، ص 208). چند مقدار اول مو (N) بنابراین 1، -1 ، -1 ، 0، -1 ، 1، -1 ، 0، 0، 1، -1 ، 0، ... (اسلون A008683 ). به طور مشابه، چند مقدار اول | مو (N) | برای N = 1 ، 2، ... 1، 1، 1، 0، 1، 1، 1، 0، 0، 1، 1، 0، ... (اسلون A008966 ).

تابع موبیوس (1832) معرفی شد، و نماد مو (N) برای اولین بار توسط Mertens (1874) مورد استفاده قرار گرفت. با این حال، گاوس تابع موبیوس در نظر گرفته بیش از 30 سال قبل از موبیوس، نوشتن "مجموع تمام ریشه های اولیه [تعداد نخست ص است یا = 0 (هنگامی که P-1 یک مربع بخش)، یا = + / -1 (وزارت دفاع ص ) (هنگامی که P-1 محصول از اعداد نابرابر نخست است، در صورتی که تعدادی از این است که حتی نشانه مثبت است، اما اگر عدد فرد باشد، علامت منفی است) "(گاوس 1801 Pegg 2003).

تابع موبیوس در اجرا ریاضیات به عنوان MoebiusMu [N].

تابع summatory از تابع موبیوس

M (X) = sum_ (N <= X) مو (N)
(2)

است که به نام تابع Mertens .

MoebiusMuDensityPlot

جدول زیر به چند مقدار اول N برای مو (N) = -1 ، 0، و 1. ارزش اول 10 ^ 4 اعداد صحیح در بالا رسم 100 × 100 شبکه، که در آن مقادیر N با مو (N) = -1 با رنگ قرمز نشان داده شده است، مو (N) = 0 در سیاه و سفید نشان داده شده است، و مو (N) = 1 به رنگ آبی نشان داده شده است. پاک کردن الگوهای ظهور که در آن تقسیم عددی بر مضرب اعداد هر سهم یک یا چند عامل مکرر.

مو (N) اسلون مقادیر N
-1 A030059 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 30، ...
0 A013929 4، 8، 9، 12، 16، 18، 20، 24، 25، 27، 28، ...
1 A030229 1، 6، 10، 14، 15، 21، 22، 26، ...

تابع موبیوس تا به توابع

sum_ (n = 1) ^ کلیت (MU (N)) / (N ^ S) = 1 / (زتا (ها))
(3)

برای R [S]> 1 (Nagell 1951، ص 130). این محصول به شرح زیر با در نظر گرفتن یکی از بیش از اویلر محصول و گسترش شرایط برای به دست آوردن

1 / (زتا (ها))=product_ (K = 1) ^ (کلیت) (1-1 / (p_k ^))
(4)
=(1-1 / (p_1 مورد ^)) (1-1 / (p_2 مورد ^)) (1-1 / (p_3 مورد ^)) ...
(5)
=
(6)
=1-sum_ (0 <من) 1 / (p_i ^) + sum_ (0 <من <ج) 1 / (p_i ^ sp_j ^)-sum_ (0 <من <J <K) 1 / (p_i ^ sp_j ، ^ sp_k ^) + ...
(7)
=sum_ (n = 1) ^ (کلیت) (MU (N)) / (N ^)
(8)

(داربیشر سال 2004، صص 245-249).

که تابع مولد اضافی داده شده است

sum_ (n = 1) ^ کلیت (MU (N) * ^ N) / (1-X ^ N) = X
(9)

برای | * | <1 است. همچنین اطاعت از مبالغ نامحدود

sum_ (n = 1) ^ (کلیت) (مو (N)) / N=0
(10)
sum_ (n = 1) ^ (کلیت) (مو (N) lnn) / N=-1
(11)
sum_ (n = 1) ^ (کلیت) (| مو (N) |) / (N ^ 2)=(15) / (PI ^ 2) = 1.51981775 ...
(12)
sum_ (n = 1) ^ (کلیت) (chi_ ({N: مو (N) = -1})) / (N ^ 2)=9 / (2pi ^ 2) = 0.45594532 ...
(13)
sum_ (n = 1) ^ (کلیت) (chi_ ({N: مو (N) = 1})) / (N ^ 2)=(21) / (2pi ^ 2) = 1.06387242 ...
(14)

(اسلون A082020 ، A088245 و A088245 ؛ 2003 Havil، ص 208)، و همچنین مجموع مقسوم علیه

sum_ (د | N) | مو (د) | = 2 ^ (امگا (N))،
(15)

جایی که امگا (N) است که تعداد عوامل نخست مجزا از N (هاردی و رایت 1979، ص 235).

مو (N) همچنین ارضا محصول نامحدود

product_ (N = 1) ^ کلیت (1-X ^ N) ^ (MU (N) / N) = E ^ (-X)
(16)

برای | * | <1 (بلمن 1943؛ باک 1944؛، Pólya و Szegö 1976، ص 126. رابینز سال 1999). معادله (◇) به عنوان "عمیق" به عنوان قضیه عدد اول (لاندو 1909، صص 567-574؛ لاندو 1911؛ هاردی 1999، ص 24).

تابع موبیوس است ضربی ،

مو مو (MN) = {(متر) مو (N) اگر (M، N) = 1؛ 0 (M، N)> 1،
(17)

و ارضا

sum_ (د | N) مو (د) = delta_ (N1)،
(18)

جایی که delta_ (IJ) دلتای کرونکر ، و همچنین

sum_ (د) مو (د) sigma_0 (N / D) = 1،
(19)

جایی که sigma_0 (N) از تعداد مقسوم علیههای ان است (به عنوان مثال، تابع مقسوم علیه می باشد.، Nagell 1951، ص 281 صفر سفارش).


هیچ نظری تا کنون برای این مطلب ارسال نشده است، اولین نفر باشید...

نوشتن دیدگاه