کوچک‌ترین مضرب مشترک

فرض کنید $a_1,a_2,...,a_n$ اعدادی صحیح و نا صفر باشند. عدد صحیح $k$ را مضرب مشترکی از $a_1,a_2,...,a_n$ می‌نامیم، به شرطی که $k$ همه‌ی $a_1$ تا $a_n$ را بشمارد.

مثلاً اگر $t$ عددی صحیح باشد $t.a_1.a_2...a_n$ مضرب مشترکی از $a_1,a_2,...,a_n$ است؛ بنابراین، تعداد مضرب‌های مشترک $a_1,a_2,...,a_n$ نامتناهی است.

تعریف: فرض کنید $a_1,a_2,...,a_n$ اعدادی صحیح و ناصفر باشند. در میان مضرب‌های مشترک مثبت $a_1,a_2,...,a_n$ کوچکترین عدد را (که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد.) کوچکترین مضرب مشترک $a_1,a_2,...,a_n$ می‌نامیم و آن را با ‍ $[a_1,a_2,...,a_n]$ نشان می‌دهیم.

قضیه: اگر $a_1,a_2,...,a_n$ اعدادی صحیح و ناصفر باشند، هر مضرب مشترک آن‌ها بر $[a_1,a_2,...,a_n]$ بخش‌پذیر است.

برهان: اگر $k$ مضرب مشترکی از $a_1,a_2,...,a_n$ باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند $q$ و $r$ وجود دارند که

(۱) $k=[a_1,a_2,...,a_n]q+r$ و $0 \le r<[a_1,a_2,...,a_n]$

از طرف دیگر $a_i|[a_1,a_2,...,a_n]$ و $a_i|k$ برای هر $1 \le i \le n$

بنابراین $a_i|r$

یعنی $r$ مضربی مشترک از $a_1,a_2,...,a_n$ است. در نتیجه اگر $r>0$ ، آنگاه $r \ge [a_1,a_2,...,a_n]$ ، که با نابرابری سمت راست (۱) تناقض دارد بنابراین $r=0$ و $k|[a_1,a_2,...,a_n]$

http://anymath.ir

انجمن دبیران ریاضیات

انجمن دبیران ریاضیات

کوچک‌ترین مضرب مشترک

نویسنده مطلب: Meysam Zarei

پاسخ دهید