http://anymath.ir

انجمن دبیران ریاضیات

آموزش مجازی ریاضیات مدارس و دانشگاه های کشور

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک

نوشته شده توسط: Meysam Zarei در ۰۳ آبان ۱۳۹۲ ساعت ۱۷:۳۷
دسته بندی:  ریاضیات مدرسه» ریاضی ابتدایی

 

در ریاضیات بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک یا ب.م.مِ دو عدد صحیح، به بزرگ‌ترین عدد طبیعی گفته می‌شود که آن دو عدد را می‌شمارد.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد طبیعی a \! و b \! بصورت (a, b) \! یا gcd(a, b) \! نوشته می‌شود.

مثال: gcd(16, 24) = 8 \! و gcd(8, 9) = 1 \!

هرگاه ب.م.م دو عدد برابر ۱ باشد، آن دو عدد را نسبت به‌هم اول می‌گوئیم.

مثال: دو عدد ۱۴ و ۵ نسبت به هم اول هستند، زیرا، داریم gcd(5, 14) = 1 \!

ب.م.م برای ساده تر کردن کسرها نیز مفید است. برای مثال:

{54 \over 81}={2 \cdot 27 \over 3 \cdot 27}={2 \over 3} \!

...

محاسبه ب.م.م:

روش تجزیه به عوامل اول:

اصولاً می‌توان ب.م.م دو عدد را با تجزیه عددها به فاکتورهای اولشان پیدا کرد. برای مثال:

۲٫۳۲=۱۸ و ۳٫۷.۲۲=۸۴

مشاهده می کنید که فاکتورهای مشترک این دو عدد ۲ و ۳ هستند پس: gcd(۸۴٬۱۸) = ۲٫۳ = ۶

محاسبه ب.م.م به این روش فقط برای اعداد کوچک عملی است و برای اعداد بزرگتر زمان بسیاری نیاز دارد.

روش اقلیدسی:

یکی از بهترین روش‌ها برای محاسبهٔ ب.م.م الگوریتم اقلیدس است که از الگوریتم تقسیم استفاده می‌کند.

مثال: یافتن (۸۴٬۱۸)gcd

ابتدا ۸۴ را به ۱۸ تقسیم می کنیم؛ خارج قسمت تقسیم ۴ و باقی‌مانده ۱۲ بدست می‌آید.

سپس ۱۸ را بر ۱۲ تقسیم می کنیم؛ خارج قسمت ۱ و باقی‌مانده ۶ بدست می‌آید؛ مجدداً ۱۲ را بر ۶ تقسیم می‌کنیم؛ خارج قسمت ۲ و باقی‌مانده ۰ می‌شود. پس عدد ۶ ب.م.م دو عدد ۸۴ و ۱۸ است.

در روش اقلیدسی اصطلاحاً خارج قسمت را بطور متوالی می شکنیم تا به باقی‌مانده ۰ برسیم.

خاصیت‌های ب.م.م:

  • هر مقسوم علیه دو عدد a و b، مقسوم علیه (gcd(a،b نیز هست.
  • ب.م.م دو عدد a و ۰ برابر |a| است. |gcd(a،۰)=|a.
  • اگر a مقسوم علیه b.c باشد و داشته باشیم gcd(a، b) = d آنگاه a/d مقسوم علیه c است.
  • اگر m یک عدد نامنفی باشد آنگاه داریم: (gcd(m·a، m·b) = m·gcd(a، b.
  • اگر m یک عدد صحیح باشد آنگاه داریم: (gcd(a + m·b، b) = gcd(a، b.
  • اگر m مقسوم علیه مشترک غیر صفر a و b باشد آنگاه داریم: gcd(a/m، b/m) = gcd(a، b)/m
  • ب.م.م دارای خاصیت جابجایی است؛ (gcd(a، b) = gcd(b، a
  • ب.م.م دارای خاصیت شرکت‌پذیری است؛ (gcd(a، gcd(b، c)) = gcd(gcd(a، b)، c
  • ب.م.م دو عدد a و b وقتی که هیچ کدام ۰ نباشند، تعریف می‌شود: کوچکترین عدد مثبت d بشکلی که بتوان به فرم d = a·p + b·q نوشت که در آن p و q اعداد صحیح هستند.

نظرات کاربران:

   Open در ۱۳۹۴/۰۱/۱۲ - ۰۱:۲۱:۰۷
Lot of smarts in that potgsni!


نوشتن دیدگاه