تعدادی از اثبات های قضیه فیثاغورس

$^ 2 + B ^ 2 = c ^ 2 \ \،$

که در آن c طول وتر، و a و b نشان دهنده طول دو ضلع دیگر.

قضیه ی فیثاغورث را پس از نام ریاضیدان یونانی فیثاغورس (حدود 570 سال قبل از میلاد، حدود 495 سال قبل از میلاد)، که توسط سنت با آن اعتبار اثبات ، ^[2] ^[3] هر چند آن است که اغلب استدلال می کنند که دانش از قضیه او قبل. شواهدی وجود دارد که ریاضیدانان بابلی درک فرمول، هر چند کمی وجود دارد بازمانده شواهدی وجود دارد که آنها در یک چارچوب ریاضی استفاده می شود. ^[4] ^[5] همچنین،بین النهرین ، هند و ریاضی دانان چینی تمام شده است به طور مستقل کشف نتیجه شناخته شده است، برخی از حتی ارائه مدرک از موارد خاص است.

قضیه اثبات های متعدد ، احتمالا بیشتر از هر قضیه ریاضی است. این بسیار متنوع، از جمله هر دو اثبات هندسی و اثبات جبری، برخی از قدمت هزاران سال. قضیه را می توان در شیوه های مختلف، از جمله فضاهای بعدی بالاتر، به فضاهایی که اقلیدسی نیست، به اشیاء هستند که مثلث درست نیست، و در واقع، به اشیاء هستند که مثلث نه در همه، اما جامدات n بعدی. قضیه فیثاغورس علاقه در خارج از ریاضیات به عنوان یک نماد abstruseness ریاضی، رمز و راز، یا قدرت فکری خود جلب کرده است، منابع مردمی در ادبیات، نمایشنامه، موزیکال، آهنگ، تمبر و کارتون فراوانند.

اثبات فیثاغورس

اثبات فیثاغورس

قضیه فیثاغورس به مدت طولانی قبل از فیثاغورس شناخته شده بود، اما او به خوبی ممکن است برای اولین بار به آن را اثبات کند. ^[6] در هر صورت، اثبات منسوب به او بسیار ساده است، و اثبات از طریق بازآرایی نامیده می شود.

دو مربع بزرگ در شکل نشان داده شده است هر کدام شامل چهار مثلث یکسان است، و تنها تفاوت بین این دو مربع بزرگ این است که مثلث متفاوت در نظر گرفته شده است. بنابراین، فضای سفید در هر یک از دو مربع بزرگ باید منطقه برابر داشته باشند. در برابر مساحت فضای سفید بازده قضیه فیثاغورس، QED ^[7]

که فیثاغورث سرچشمه این اثبات بسیار ساده است گاهی از نوشته های فیلسوف بعد و ریاضیدان یونانی استنباط پروکلوس . ^[8] چند اثبات دیگر از این قضیه در زیر شرح داده شده است، اما این است که به عنوان یک فیثاغورس شناخته شده است.

اشکال دیگر قضیه

همانطور که در مقدمه اشاره شده است، اگر c بیانگر گزینه ای است که پاسخ دادن به آن طول وتر و a و b نشان دهنده طول دو طرف دیگر، قضیه فیثاغورس را می توان به عنوان معادله فیثاغورث بیان:

$^ 2 + B ^ 2 = c ^ 2 \،$

اگر طول هر دو A و B شناخته شده است، آنگاه c را می توان به شرح زیر محاسبه می شود:

$ج = \ دستور تابع دستور تابع sqrt {A ^ 2 + B ^ 2}. \،$

اگر طول وتر C و یک پا (a یا b) شناخته می شود، سپس طول پای دیگر می توان با معادلات زیر محاسبه می شود:

$= \ دستور تابع دستور تابع sqrt {C ^ 2 - B ^ 2}. \،$

یا

$ب = \ دستور تابع دستور تابع sqrt {C ^ 2 - ^ 2}. \،$

معادله فیثاغورث مربوط طرف یک مثلث راست در یک روش ساده، به طوری که اگر طول از هر دو طرف شناخته شده طول طرف سوم را می توان یافت. نتیجه دیگر قضیه این است که در هر مثلث قائم الزاویه، وتر بیشتر از هر یک از پاها، اما کمتر از مجموع آنها است.

تعمیم این قضیه است که قانون کسینوس که اجازه می دهد تا محاسبات طول از طرف سوم از هر مثلث، با توجه به طول دو طرف و اندازه زاویه بین آنها. اگر زاویه بین دو طرف یک زاویه راست است،، قانون کسینوس به معادله فیثاغورث را کاهش می دهد.

دیگر اثبات قضیه

این قضیه ممکن است اثبات شناخته شده تر از هر جای دیگری (قانون تقابل درجه دوم بودن مدعی دیگری که برای تمایز)؛ کتاب پیشنهاد فیثاغورس حاوی در 370 اثبات شده است. ^[9]

اثبات با استفاده از مثلثهای متشابه

اثبات با استفاده از مثلثهای متشابه

این اثبات بر اساس تناسب از دو طرف از دو مثلث مشابه ، که شده است، بر این واقعیت است که نسبت هر دو طرف متناظر از مثلث مشابه همان صرف نظر از اندازه از مثلث است.

فرض کنید ABC یک مثلث راست با زاویه مناسب واقع در C همانطور که در شکل نشان داده شده است. ما جلب ارتفاع از نقطه C، تماس گرفته و H تقاطع آن با طرف AB. نقطه H طول ج وتر را به دوبخش d و e تقسیم می کند. مثلث جدید ACH است، شبیه به مثلث ABC، چون هر دو یک زاویه راست (تعریف از ارتفاع)، و آنها به اشتراک زاویه در، به این معنی که زاویه سوم همان خواهد شد در هر دو مثلث و همچنین، مشخص شده به عنوان θ در شکل. به دلیل مشابه مثلث CBH نیز شبیه به ABC است. اثبات شباهت مثلث، نیاز به مثلث قیاس منطقی : مجموع زوایای یک مثلث دو زاویه راست است، معادل و موازی قیاس منطقی است . تشابه مثلث منجر به برابری نسبت طرف مربوطه:

$\ FRAC {BC} {AB} = \ FRAC {BH} {BC} \ متن {و} \ FRAC {AC} {AB} = \ FRAC {ق} {AC}. \،$

نتیجه اولین برابر کسینوس از هر زاویه θ و نتیجه دوم برابر سینوس .

این نسبت می تواند به عنوان نوشته شده است:

$= {BC} ^ {2} {AB} \ بار {BH} \ متن {و} {AC} ^ {2} = {AB} \ بار {ق}. \،$

جمع این دو عدالت، به دست آوریم

${BC} ^ {2} + {AC} ^ {2} = {AB} \ بار {BH} + {AB} \ بار {ق} = {AB} \ زمان ({ق} + {BH}) = { AB} ^ {2}، \، \!$

که محوطه، قضیه فیثاغورس است:

${BC} ^ {2} + {AC} ^ {2} = {AB} ^ {2} \ \، \!$

نقش این اثبات در تاریخ این موضوع گمانه زنی های زیادی است. سوال اساسی این است که چرا اقلیدس این اثبات استفاده نمی کند، اما یکی دیگر از اختراع. یک گمان این است که اثبات با استفاده از مثلثهای مشابه شامل یک نظریه نسبت، یک موضوع تا بعدا درعناصر مورد بحث نیست، و نظریه نسبت مورد نیاز توسعه بیشتر در آن زمان است. ^[10] ^[11]

اثبات اقلیدس

اثبات در عناصر اقلیدس

رئوس مطالب، در اینجا چگونه اثبات اقلیدس 'ثانیه المان ها درآمد حاصل از. مربع بزرگ را به دو مستطیل سمت چپ و سمت راست تقسیم شده است. یک مثلث ساخته شدهاست که مساحتش نصف مساحت مستطیل سمت چپ است. سپس یک مثلث دیگر ساخته میشود که مساحتش نصف مساحت مربع سمت چپ ترین. این دو مثلث نشان داده می شود متجانس، مساحت مربع با مساحت مستطیل سمت چپ برابر است. این استدلال توسط یک نسخه مشابه برای مستطیل سمت راست و مربع دیگر نیز به دنبال. قرار دادن دو مستطیل با هم به اصلاح مربع روی وتر مثلث، مساحت آن همان است که در مجموع مساحت دو مربع دیگر است. جزئیات بعدی.

A، B، C رئوس یک مثلث راست، با یک زاویه راست در. قطره عمود به طرف مقابل وتر در یک مربع روی وتر. این خط مربع روی وتر را به دو مستطیل، که هر کدام با داشتن همان منطقه به عنوان یکی از دو مربع بر روی پاها تقسیم می کند.

برای اثبات رسمی، ما نیاز به چهار ابتدایی lemmata :

اگر دو مثلث دو ضلع از یکی برابر است با دو طرف دیگر، هر هر، و زاویه میان آن دو ضلع برابر، پس از آن مثلث ها متجانس اند ( سمت زاویه سمت ).
مساحت یک مثلث نصف مساحت هر متوازی الاضلاع در همان پایه و با همان ارتفاع است.
مساحت یک مستطیل برابر محصول دو ضلع مجاور است.
مساحت یک مربع برابر محصول دو طرف آن (از 3 زیر) است.

در مرحله بعد، هر مربع بالا است به یک مثلث متناسب با مثلث دیگری که مربوط به یکی از دو مستطیلهای سازنده مربع پایینی به نوبه خود مربوط می شود. ^[12]

تصویر از جمله خطوط جدید

نمایش دو مثلث متجانس از نصف مساحت مستطیل BDLK و مربع BAGF

اثبات شده است به شرح زیر است:

اجازه دهید ACB یک مثلث راست زاویه دار با CAB زاویه راست است.
در هر یک از اضلاع BC و AB و CA، مربع کشیده می شوند، CBDE و BAGF و ACIH را در آن سفارش شده است. ساخت و ساز از مربع نیاز به قضایای بلافاصله قبل از اقلیدس، و بستگی دارد به موازات قیاس منطقی است. ^[13]
از، قرعه کشی یک خط به موازات BD و CE. عمود با BC و DE در K و L به ترتیب.
تاریخ CF و AD، به شکل مثلث BCF و BDA.
زاویههای CAB و BAG هر دو زاویههای هستند؛ بنابراین نقاط C و A و G بر خط مستقیم واقع شونده هستند . به طور مشابه B، A، و H.
زاویههای CBD و FBA هر دو زاویه سمت راست، درنتیجه دو زاویه ABD برابر زاویه FBC با یکدیگر برابرند چون هردو برابرند با حاصل جمع یک زاویه راست و زاویه ABC.
از آنجا که AB برابر با FB و BD برابر با سال قبل از میلاد است، مثلث ABD باید از متجانس مثلث FBC داشته باشد.
از آنجا که عقل یک خط مستقیم، به موازات BD است، سپس مستطیل BDLK دارای دو برابر مساحت مثلث ABD زیرا آنها به اشتراک BD پایه و همان ارتفاع BK، به عنوان مثال، یک خط عادی به پایه مشترک خود، اتصال خطوط BD و موازی AL. (لم 2)
از آنجا که C خط مستقیم واقع شونده با A و G، مربع BAGF باید دو برابر مساحت مثلث FBC داشته باشد.
بنابراین مستطیل BDLK باید به همان منطقه به عنوان مربع BAGF = AB ² داشته باشد.
به طور مشابه، می توان آن را نشان داده شده است که مستطیل CKLE باید در همان منطقه به عنوان میدان ACIH = AC ^2.
جمع این دو نتیجه، AB ² + AC ² = BD × BK + KL × KC
از آنجا که BD = KL، BD × BK + KL × KC = BD (BK + KC) = BD × BC
بنابراین AB ² + AC ² = BC ^{2 است،} از CBDE یک مربع است.

این اثبات، به نظر می رسد که در عناصر اقلیدس به عنوان گزاره 47 در کتاب 1، ^[14] نشان می دهد که مساحت مربع روی وتر است حاصل جمع مناطق دو مربع دیگر. ^[15] این کاملا مجزا از اثبات تشابه مثلث، حدس زده شده است که برای اثبات این که فیثاغورس استفاده می شود. ^[11] ^[16]

اثبات با استفاده از بازآرایی

ما در حال حاضر مورد بحث اثبات فیثاغورس، که اثبات بازآرایی بود. ایده همان است که توسط انیمیشن سمت چپ در زیر، که متشکل از یک مربع بزرگ منتقل، سمت A + B، شامل چهار مثلث راستگوشه یکسان است. مثلث در دو ترتیبات نشان داده شده است، برای اولین بار که برگ دو مربع ² و b ² کشف، دوم است که برگ های مربع ج ² کشف. این منطقه احاطه شده توسط مربع بیرونی هرگز تغییر و منطقه از چهار مثلث در ابتدا و انتهای همان است، به طوری مربع سیاه و سفید باید برابر باشد، بنابراین ² + B ² C ² =.

اثبات دوم با بازآرایی انیمیشن متوسط داده شده است. یک مربع بزرگ با منطقه ج ² تشکیل شده، از چهار مثلث راستگوشه یکسان با طرف A، B و C، نصب شده در اطراف یک مربع کوچک مرکزی.سپس دو مستطیل با اضلاع a و b که با جابجایی مثلثها تشکیل شده است. ترکیب مربع کوچکتر با این مستطیل دو مربع از مناطق ² و B ^2، که باید همان منطقه به عنوان مربع بزرگ اولیه داشته باشند.^[17]

سوم، تصویر سمت راست نیز می دهد یک اثبات است. دو مربع بالایی تقسیم می شوند به عنوان نشان داده شده است سایه آبی و سبز را به قطعات که زمانی که بخواهند صفحاتی دوباره مرتب شده را می توان در مربع پایینی روی وتر را به تناسب - یا برعکس مربع بزرگ را می توان تقسیم به قطعات نشان داده شده است که دو نفر دیگر را پر کنید است. این نشان می دهد مساحت مربع بزرگ برابر است که از دو کوچکتر است. ^[18]

انیمیشن نشان دادن اثبات بازآرایی از چهار مثلث راستگوشه یکسان

انیمیشن نمایش یک اثبات دیگر بوسیله بازآرایی

اثبات با استفاده از بازآرایی استادانه درست شده

اثبات های جبری

نمودار دو اثبات جبری

قضیه فیثاغورس را میتوان اثبات جبری با استفاده از چهار نسخه از یک مثلث راست با طرف A، B و c درون یک مربع با ضلع c را به عنوان در نیمه بالای نمودار مرتب شده است. ^[19] مثلث مشابه با منطقه $\ tfrac12ab،،$ در حالی که مربع کوچک سمت b - a و area (ب -) ^2. مساحت مربع بزرگ است بنابراین

$(B-) ^ 2 +4 \ FRAC {AB} {2} = (B-) ^ 2 +2 AB = A ^ 2 + B ^ 2. \،$

اما این یک مربع با ضلع c را و منطقه ج ² است، بنابراین

$C ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2. \،$

اثبات مشابه با استفاده از چهار نسخه از همان مثلث متقارن در اطراف یک مربع با ضلع c را ترتیب، همانطور که در قسمت پایین نمودار نشان داده شده است. ^[20] در یک مربع بزرگتر این نتایج، با سمت A + B و مساحت (A + B ) ^2. چهار مثلث و مربع با ضلع c مساحتی برابر با مساحت مربع بزرگتر داشته باشد،

$(ب +) ^ 2 = C ^ 2 + 4 \ FRAC {AB} {2} = C ^ 2 +2 AB، \،$

دادن

$C ^ 2 = (B +) ^ 2 - 2ab = A ^ 2 + B ^ 2 \،$

نمودار اثبات گارفیلد

اثبات مربوط به آینده، رئیس جمهور آمریکا جیمز گارفیلد (سپس نماینده ایالات متحده ) منتشر شد . ^[21] ^[22] به جای یک مربع از آن استفاده می کند ذوزنقه ، که می تواند به از مربع در دوم مدرک فوق ساخته شده نیمساز امتداد قطر مربع درونی، را به ذوزنقه همانطور که در نمودار نشان داده شده است. مساحت ذوزنقه را می توان محاسبه به نیمی از مساحت مربع است، که

$\ FRAC {1} {2} (B +) ^ 2.$

مربع داخلی به طور مشابه نصف و تنها دو مثلث وجود دارد تا ادامه اثبات به همان بالا به جز عامل $\ FRAC {1} {2}$ ، است که با ضرب دو تا را نتیجه حذف خواهند شد.

اثبات با استفاده از تفاوت

در واقع می توان در قضیه ی فیثاغورث را با مطالعه چگونگی تغییرات در سمت تغییر در وتر و استفاده از تولید وارد حساب دیفرانسیل و انتگرال است. ^[23] ^[24] ^[25]

مثلث ABC یک مثلث راست است، همانطور که در قسمت بالای نمودار، BC وتر نشان داده شده است. در همان زمان طول مثلث اندازه گیری به عنوان نشان داده شده است، با وتر طول Y، سمت AC طول x و سمتAB طول، همانطور که در نمودار بخشی پایین تر دیده می شود.

نمودار برای اثبات دیفرانسیل

اگر x مقدار DX کوچک با گسترش طرف AC کمی به D، پس از آن افزایش یافته است Y نیز توسط DY را افزایش می دهد. این صورت دو طرف از یک مثلث، CDE، که با E انتخاب شده به طوری CE عمود بر وتر یک مثلث راست تقریبا شبیه به ABC. بنابراین نسبت از طرف آنها باید یکسان باشد، این است که:

$\ FRAC {DY} {DX} = \ FRAC XY است.$

این را می توان به صورت زیر بازنویسی:

$Y \ cdot DY - X \ cdot DX = 0 \،$

این یک معادله دیفرانسیل است که در حل را به

$Y ^ 2 - X ^ 2 = C، \،$

و ثابت را می توان از x = 0 به استنباط، Y = به معادله

$Y ^ 2 = X ^ 2 + ^ 2 \،$

این است که بیشتر اثبات بصری از یک رسمی: می توان آن را دقیق تر ساخته شده است اگر محدودیت های مناسب در جای DX و DY مورد استفاده قرار می گیرد.

صحبت

صحبت از قضیه نیز صادق است: ^[26]

برای هر سه عدد مثبت A، B، و C به طوری که ² + B ² C ² =، وجود دارد یک مثلث با اضلاع A، B و C وجود دارد، و هر مثلث یک زاویه راست میان دو طرف طول و b است.

بیانیه جایگزین است:

برای هر مثلث با اضلاع، B، C، اگر ² + B ² = ج ^2، و سپس زاویه بین a و اقدامات ب 90 درجه.

عکس این قضیه نیز به نظر می رسد در عناصر اقلیدس (کتاب اول، پیشنهاد 48) ^[27]

"اگر در یک مثلث مربع در یکی از دو طرف برابر مجموع مربع در دو طرف باقی مانده از مثلث است، و سپس زاویه موجود توسط دو طرف باقی مانده از مثلث سمت راست است."

می توان آن را ثابت با استفاده از قانون کسینوس ها و یا به شرح زیر است:

فرض کنید ABC یک مثلث با طول ضلع A، B، و C، با ² + B ² C ² = ساخت یک مثلث دوم با طرف طول و b حاوی یک زاویه راست است. با استفاده از قضیه فیثاغورس، به شرح زیر است که وتر این مثلث دارای طول C = √ ² + B ^2، همان وتر مثلث اول است. از آنجا که هر دو طرف مثلث طول همان A، B و C هستند، مثلث متجانس و باید زاویه یکسانی داشته باشند. بنابراین، زاویه بین سمت طول a و b در مثلث اصلی یک زاویه راست است.

اثبات فوق از قضیه باعث می شود استفاده از قضیه فیثاغورس خود. البته عکس این قضیه نیز می تواند بدون فرض قضیه فیثاغورس اثبات می شود. ^[28] ^[29]

نتیجه صحبت قضیه ی فیثاغورث را در یک وسیله ساده تعیین اینکه آیا یک مثلث راست، مبهم یا حاد، به شرح زیر است. ج انتخاب شده به عنوان طولانی ترین از سه طرف و A + B> C (در غیر این صورت هیچ مثلث با توجه به نامساوی مثلث ). عبارات زیر اعمال می شود: ^[30]

اگر ² + B ² = ج ^2، و سپس مثلث سمت راست است.
اگر ² + B ^2> ج ^2، پس از آن مثلث حاد است.
اگر ² + B ² <ج ^2، پس از آن مثلث منفرجه است.

دیکسترا Edsger این پیشنهاد در مورد مثلث حاد، راست، و منفرجه به این زبان بیان کرده است:

SGN (α + β - γ) = SGN ⁽² + B ² - ج ^2)،

که در آن α زاویه مقابل به طرف است، β زاویه مقابل به سمت B، γ زاویه مقابل به ضلع c را است، و SGN است تابع علامت است . ^[31]

عواقب و استفاده از قضیه

سه فیثاغورس

مقاله اصلی: سه گانه ی فیثاغورث

فیثاغورث سه گانه سه عدد صحیح مثبت، B و C، به طوری که ² + B ² = C ^2. به عبارت دیگر، یک سه گانه ی فیثاغورث نشان دهنده طول اضلاع یک مثلث راست که در آن هر سه طرف طول عدد صحیح. ^[1] شواهد از آثار تاریخی megalithic در شمال اروپا نشان می دهد که این سه قبل از کشف نوشتن شناخته شده بودند. چنین سه گانه است که معمولا نوشته شده است (A، B، C) برخی از نمونه های شناخته شده هستند (3، 4، 5) و (5، 12، 13).

ابتدایی فیثاغورث سه گانه که در آن A، B و C عدد اول است ( بزرگترین مقسوم علیه مشترک A، B و C است 1).

در زیر به لیستی از سه فیثاغورس بدوی با ارزش کمتر از 100 است:

(3، 4، 5)، (5، 12، 13)، (7، 24، 25)، (8، 15، 17)، (9، 40، 41)، (11، 60، 61)، (12 ، 35، 37)، (13، 84، 85)، (16، 63، 65)، (20، 21، 29)، (28، 45، 53)، (33، 56، 65)، (36، 77 ، 85)، (39، 80، 89)، (48، 55، 73)، (65، 72، 97)

طول های گنگ

مارپیچی Theodorus : ساخت و ساز برای پاره خط با طول که نسبت ریشه مربع یک عدد صحیح مثبت است

یکی از عواقب قضیه فیثاغورس این است که پاره خط که طول ناسازگارند (به طوری که نسبت این است که یک عدد گویا ) را می توان با استفاده از یک صاف و قطب نما ساخته شده است . قضیه فیثاغورس را قادر می سازد ساخت و ساز از طول ناسازگارند چون وتر یک مثلث به طرف در رابطه با جذر عمل.

این رقم در سمت راست نشان می دهد که چگونه به ساخت پاره خط که طول در نسبت ریشه مربع هر عدد صحیح مثبت هستند. ^[32] هر مثلث دارای یک طرف (با برچسب "1") است که واحد انتخاب شده برای اندازه گیری. در هر مثلث راست، قضیه فیثاغورس ایجاد طول وتر در شرایط این واحد است. اگر وتر به واحد در رابطه با ریشه مربع یک عدد صحیح مثبت است که یک مربع کامل نیست، آن را تحقق طول ناسازگارند با واحد، مانند √ 2، 3 √ √ 5. برای جزئیات بیشتر، نگاه کنید به غیر منطقی درجه دوم .

طول گنگ با مفهوم مکتب فیثاغورس از اعداد به عنوان تنها به اعداد صحیح در تضاد است. مکتب فیثاغورس با ابعاد توسط مقایسه از تقسیم عددی بر مضرب عدد صحیح از یک زیرواحد مشترک برخورد.^[33] بر اساس یک افسانه، Hippasus Metapontum (حدود 470 سال قبل از میلاد) ساخت شناخته شده وجود غیر منطقی و یا ناسازگارند. در دریا غرق شد ^{[34 ]} ^[35]

اعداد مختلط

قدر مطلق عدد مختلط z رابطه فاصله r از Z به مبدا

برای هر عدد مختلط

$Z = X + مختلط، \،$

ارزش مطلق یا مدول ارائه شده است.

$R = | Z | = \ دستور تابع دستور تابع sqrt {X ^ 2 + Y ^ 2} \،$

بنابراین سه مقدار، R، x و y معادله فیثاغورث،

$R ^ 2 = X ^ 2 + Y ^ 2 \،$

توجه داشته باشید که تحقیق تعریف می شود تعداد صفر یا مثبت x و y می تواند منفی و نیز مثبت است. هندسی r فاصله Z از صفر و یا منشاء O در صفحه مختلط .

این را می توان به پیدا کردن فاصله بین دو نقطه، z ₁ و z _{2 می} گویند. فاصله مورد نیاز ارائه شده است.

$| z_1 - z_2 | = \ دستور تابع دستور تابع sqrt {(X_1،، - X_2) ^ 2 + (y_1،، - y_2). ^ 2}، \،$

تا دوباره آنها توسط یک نسخه از معادله فیثاغورث،

$است. | z_1 - z_2 | ^ 2 از = (X_1،، - X_2) ^ 2 + (y_1،، - y_2). ^ 2 \$

فاصله اقلیدسی در سیستم های مختصات مختلف

فرمول فاصله در مختصات دکارتی است از قضیه فیثاغورس مشتق شده است. ^[36] اگر (X _1، Y ₁₎ و (X _2، Y ₂₎ نقطه در هواپیما، سپس فاصله بین آنها، همچنین به نام فاصله اقلیدسی ، داده شده است

$\ دستور تابع دستور تابع sqrt {(سری X1، X_2 به) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2}.$

به طور کلی، در اقلیدسی N-فضا ، فاصله اقلیدسی بین دو نقطه، $، A \ = \ (a_1، a_2، \ نقاط، A_N)$ و $B \، = \ از از، (b_1، B_2، \ نقاط، b_n)$ ،، تعمیم قضیه فیثاغورس تعریف شده است، به عنوان:

$\ دستور تابع دستور تابع sqrt {(a_1، b_1 به) ^ 2 + (a_2 B_2). ^ 2 + \ نقاط از + (b_n A_N) ^ 2} = \ دستور تابع دستور تابع sqrt {\ sum_ {I = 1} ^ N (a_i که که b_i) ^ 2}.$

اگر مختصات دکارتی استفاده نمی شود، برای مثال، اگر مختصات قطبی در دو بعد و یا استفاده می شود، در شرایط کلی تر، اگر مختصات منحنی استفاده می شود، بیان فرمول فاصله اقلیدسی از قضیه ی فیثاغورث را پیچیده تر هستند، اما می تواند مشتق شده از آن است. یک نمونه که در آن فاصله خط مستقیم بین دو نقطه به مختصات منحنی تبدیل را می توان در برنامه های کاربردی از چندجملهایهای لژاندر در فیزیک است . این فرمول را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورس با معادلات مربوط به مختصات منحنی به مختصات دکارتی کشف شده است. برای مثال، مختصات قطبی (r و θ) می تواند به عنوان معرفی:

$X = R و \ چون \ تتا \ Y = R و \ گناه \ تتا. \،$

سپس دو نقطه با مکان (R _1، θ ₁₎ و (R _2، θ ₂₎ بر اساس فاصله از هم جدا:

$بازدید کنندگان ^ 2 = از (X_1،، - X_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2 = (R_1 \ چون \ theta_1-r_2 و و \ چون \ theta_2) ^ 2 + (R_1 \ گناه \ theta_1-r_2 و و \ گناه \ theta_2) ^ 2 \$

انجام میادین و شرایط ترکیب، فرمول فیثاغورس برای فاصله در مختصات دکارتی تولید جدایی در مختصات قطبی به عنوان:

$\ شروع {چین} ^ 2 & = R_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 -2 R_1 r_2 \ سمت چپ (\ چون \ theta_1 \ چون \ theta_2 + \ گناه \ theta_1 \ گناه \ theta_2 \ حق) \ \ R_1 = & ^ 2 + r_2 ^ 2 -2 R_1 r_2 \ چون \ چپ (\ theta_1 - \ theta_2 \ سمت راست) \ \ & = R_1 ^ 2 + r_2: ^ 2 -2 R_1 r_2 \ چون \ دلتا \ تتا \ پایان {چین } \،$

با استفاده از فرمول های مثلثاتی محصول به جمع . این فرمول قانون کسینوس ، گاهی اوقات تعمیم قضیه فیثاغورس. ^[37] از این نتیجه، برای مورد که در آن شعاع به دو مکان در زاویه سمت راست، زاویه محصور Δ = π / 2 θ، و به شکل نامیده می شود مربوط به قضیه فیثاغورس به دست آورد: $S ^ به 2 = R_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 \،$ بنابراین قضیه ی فیثاغورث، برای مثلث راست معتبر است، یک مورد خاص از قانون کسینوس، برای مثلث خودسرانه معتبر است.

فیثاغورس مثلثاتی هویت

نوشتار اصلی: فیثاغورث مثلثاتی هویت

مثلث سمت راست مشابه نشان سینوسی و کسینوس زاویه θ

در A، B و وتر یک مثلث راست با طرف ج، مثلثات تعیین سینوسی و کسینوس زاویه θ بین سمت و وتر به عنوان:

$گناه \ \ تتا = \ FRAC {ب} {C}، \ چهار \ چون \ تتا = \ FRAC {} {ج}.$

که از آن شرح زیر است:

$چون {\} ^ 2 \ تتا + {\ گناه} ^ 2 \ تتا = \ FRAC {^ 2 + B ^ 2} {C ^ 2} = 1،$

که در آن آخرین مرحله قضیه فیثاغورس صدق می کند. این رابطه بین سینوسی و کسینوسی گاهی اوقات اساسی فیثاغورس هویت مثلثاتی نامیده می شود. ^[38] در مثلث مشابه، نسبت از دو طرف یکسان هستند بدون در نظر گرفتن اندازه از مثلث، و بستگی به زاویه. در نتیجه، در شکل، مثلث با وتر واحد اندازه طرف مقابل از اندازه گناه سمت θ و مجاور چون اندازه θ در واحد وتر.

رابطه محصول متقابل

مساحت یک متوازی الاضلاع را به عنوان یک محصول متقاطع، بردار a و b شناسایی هواپیما و × بنرمال در این هواپیما است.

قضیه فیثاغورس مربوط محصول مقطعی و نقطه محصول در روشی مشابه: ^[39]

$\ | \ mathbf {} \ بار \ mathbf {ب} \ | ^ 2 + (\ mathbf {} \ cdot \ mathbf {ب}) ^ 2 = \ | \ mathbf {}. \ | ^ 2 \ | \ mathbf {ب} \ | ^ 2 \،$

این را می توان از تعاریف از محصول های متقاطع و محصول نقطه، به عنوان دیده می شود

$\ شروع {چین} \ mathbf {} \ بار \ mathbf {ب} و = AB \ mathbf {N} \ گناه {\ تتا} \ \ \ mathbf {} \ cdot \ mathbf {ب} و = AB \ چون {\ تتا} \ پایان {چین}$

با n یک بردار نرمال واحد به a و b هر دو. رابطه زیر از این تعاریف و هویت مثلثاتی فیثاغورس.

این نیز می تواند مورد استفاده قرار گیرد به تعریف محصول متقاطع. با چینش دوباره معادله زیر به دست آمده است

$\ | \ mathbf {} \ بار \ mathbf {ب} \ | ^ 2 = \ | \ mathbf {}. \ | ^ 2 \ | \ mathbf {B} \ | ^ 2 - (\ mathbf {} \ cdot \ mathbf {ب}) ^ 2 \،$

این را می توان به عنوان یکی از شرایط محصول مقطعی است و به همین ترتیب بخشی از تعریف آن، برای مثال در هفت بعد در نظر گرفته است . ^[40] ^[41]

تعمیم

چهره های مشابه در سه طرف

تعمیم از قضیه ی فیثاغورث را فراتر مناطق مربع در سه طرف به ارقام مشابه در قرن پنجم قبل از میلاد، بقراط از Chios شناخته شده بود ^[42] و با گنجانده شد اقلیدس در عناصر خود را به : ^[43]

اگر یکی erects چهره های مشابه (نگاه کنید به هندسه اقلیدسی ) با طرف های مربوطه در دو طرف یک مثلث راست، و سپس مجموع از مناطق از آنهایی که در دو طرف کوچکتر برابر است با مساحت یکی در سمت بزرگتر است.

این فرمت فرض بر این است که دو طرف مثلث اصلی طرف متناظر با سه ارقام متجانس (به طوری که نسبت مشترک طرف بین ارقام مشابه هستند می باشد ب: ج ^[44] در حالی که اثبات اقلیدس فقط به چند ضلعی های محدب اعمال، قضیه همچنین شامل مقعر چند ضلعی و حتی به ارقام مشابه که مرزهای منحنی (اما هنوز هم با بخشی از مرز رقم سمت مثلث اصلی). ^[44]

ایده اصلی در پشت این تعمیم است که مساحت شکل هواپیما متناسب به مربع هر ابعاد خطی، و به طور خاص متناسب با مربع طول هر طرف است. بنابراین، اگر چهره های مشابه با مناطق A، B و C بنا در دو طرف با طول متناظر با A، B و C و سپس:

$\ FRAC {A} {^ 2} = \ FRAC {B} {B ^ 2} = \ FRAC {C} {C ^ 2} \،،$

$\ پیکان A + B = \ FRAC {^ 2} {C ^ 2} C + \ FRAC {B ^ 2} {C ^ 2} C \.$

اما، قضیه فیثاغورس، ² + B ² = ج ^2، به طوری که A + B = C.

برعکس، اگر ما می تواند ثابت کند که A + B = C سه ارقام مشابه بدون استفاده از قضیه ی فیثاغورث، پس ما می توانیم به عقب کار برای ساخت یک اثبات قضیه. به عنوان مثال، مرکز مثلث شروع می تواند تکرار شود و مورد استفاده به عنوان یک C بر وتر آن مثلث، و دو مثلث راست مشابه (A و B) در دو طرف دیگر، تشکیل شده توسط تقسیم مثلث مرکزی توسط آن ارتفاع ساخته شده است . بنابراین، مجموع مناطق از دو مثلث کوچکتر است که از سوم، در نتیجه A + B = C و معکوس منطق فوق منجر به قضیه فیثاغورس ² + B ² = C ^2.

تعمیم برای مثلث های مشابه،
منطقه سبز A + B = آبی منطقه C

با قضیه فیثاغورس 'با استفاده از مثلث سمت راست مشابه

تعمیم پنج ضلعی منظم

قانون کسینوس

جدایی از دو نقطه (R _1، θ _1)<

نویسنده مطلب: Meysam Zarei

پاسخ دهید

11 نظر

مهدی شیر علی زاده ۱۳۹۲/۰۹/۲۴ - ۲۳:۵۴:۳۶

واقعا عالی بود

Honey ۱۳۹۲/۱۱/۲۷ - ۲۰:۱۲:۴۴

اگه از یک ذوزنقه ی مختلف الاضلاعی که قطر ها بر هم عمود هستند و فقط سه تا ضلع رو داریم چطوری می تونیم ضلع چهارم یعنی قاعده ی بزرگ رو به دست بیاریم؟؟؟

سارا ۱۳۹۳/۰۲/۰۴ - ۱۳:۵۹:۰۰

ممنون

مجید ۱۳۹۳/۰۹/۱۵ - ۲۰:۱۷:۲۳

سلام .... واقعا ممنون .... بسیار زیبا.....

نوید ۱۳۹۳/۰۹/۱۷ - ۱۷:۴۹:۲۴

عـــــــــــــــــــــــالـــــــــــــــــیِ بــــــود

ALIREZA ۱۳۹۳/۱۰/۱۰ - ۱۶:۰۴:۵۶

عالی بود

پارسا ۱۳۹۳/۱۱/۰۶ - ۲۱:۵۴:۴۹

ممنون ولی لطفا به زبون ریاضی هم بنویسید

سعید ۱۳۹۳/۱۱/۰۶ - ۲۲:۳۴:۴۵

سلام خیلی خیلی ممنون از اطلاعات خوبتون لطفا درباره فراکتال هم مطالب بگذارید باتشکر

امیر صیامی ۱۳۹۳/۱۲/۱۳ - ۱۳:۴۷:۵۶

خیلی خوب بود !!...

میثا ۱۳۹۴/۰۱/۱۷ - ۲۱:۱۵:۲۹

واقعا مرسی.خیلی جالب بود.

شریعت زاده ۱۴۰۳/۰۱/۲۵ - ۲۲:۴۹:۳۰

عالی دستتان درد نکنه

http://anymath.ir

انجمن دبیران ریاضیات

انجمن دبیران ریاضیات