بسط تیلور

f(x) = e2





sinx و بسط تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13.


به وسیلهٔ بسط تیلور، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.
تعریف: اگر f در همسایگی x0 و  بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد،آنگاه f را می‌توان به صورت توان‌هایی از (x − x0) نوشت.

که در اینجا، fn(x) مشتق n-اُم تابع f است. این بسط به نام ریاضیدانانگلیسیبروک تیلور اسم‌گذاری شده است. متاسفانه، این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.

مثال:

x
در همسایگی 1- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.
می‌توان گفت:



همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .
حالت خاص سری تیلور که در حول نقطه 0 می‌باشد را سری مکلورن می‌گویند.