http://anymath.ir

انجمن دبیران ریاضیات

آموزش مجازی ریاضیات مدارس و دانشگاه های کشور

مساله‌ای زیبا در ریاضیات

نوشته شده توسط: Meysam Zarei در ۱۱ مهر ۱۳۹۲ ساعت ۲۳:۱۲
دسته بندی:  آموزش مجازی» آموزش دانشگاهی

 

 



قضیه‌ی چهاررنگ یا حدس چهاررنگ از مسائل مشهور و قدیمی ریاضیات است که سال‌ها اثبات نشده مانده بود. به بیان ساده (و نادقیق) این قضیه می‌گوید:

 

برای رنگ‌کردن هر نقشه به طوری که کشورها و نواحی همسایه در نقشه هم‌رنگ نباشند فقط چهار رنگ کافی است.

 

 

سه رنگ برای نقشه‌های ساده‌تر کافیست ولی یک رنگ چهارم اضافی برای برخی نقشه‌ها لازم است. مثل نقشه‌هایی که در آن‌ها یک ناحیه با تعداد فرد نواحی دیگر احاطه شده‌است که به یکدیگر در یک دایره وصل هستند.

 

 

قضیه ۵ رنگ که اثباتی کوتاه و ابتدایی دارد، بیان می‌کند که ۵ رنگ برای رنگ آمیزی نقشه کافیست. این قصیه در اواخر قرن ۱۹ اثبات شده است (هیووو ۱۸۹۰).

 

 

 

اثبات اینکه ۴ رنگ کافیست بسیار سخت‌تر است. تعدادی اثبات‌های غلط و مثال‌های نقض از زمان ارائه قضیه ۴ رنگ در ۱۸۵۲ بیان شده اند. این مسئله به صورت معادله ابتدا درسال۱۸۵۲ عنوان شد و سرانجام در سال ۱۹۷۶ با کمک رایانه توسط کی اپل (Appel) و و. هیکن (Haken) حل شد. این اولین قضیه مهمی بود که با استفاده از کامپیوتر به اثبات رسید. آنها نشان دادند که مجموعه‌ای از ۱۹۳۶ نقشه وجود دارد که هیچ کدام از آنها نمی‌توانند قسمتی از یکی از کوچکترین مثال نقض های قضیه چهار رنگ باشند.

 

 

 

اپل و هیکن از یک برنامه کامپیوتری خاص منظوره استفاده کردند تا ثابت کنند هیچ کدام از این نقشه ها از این قاعده مستثنا نیستند. علاوه بر این هر نقشه ای فارغ از این که مثال نقض هست یا نه، حتما قسمتی را شامل می شود که شبیه یکی از آن ۱۹۳۶ نقشه می‌باشد و اثبات این نیاز به صدها صفحه تحلیل دست نویس بود. اپل و هیکن نتیجه گرفتند که اگر بخواهد کوچکترین مثال نقضی وجود داشته باشد باید شامل یکی از آن ۱۹۳۶ نقشه باشد. این تناقض به این معنی بود که هیچ مثال نقضی وجود ندارد و قضیه درست می‌باشد. در ابتدا اثبات آن‌ها از طرف همه ریاضی‌دان‌ها مورد تایید واقع نشد، چرا که چک کردن یک اثبات کامپیوتری توسط انسان امکان پذیر نبود (Swart, 1989) .

 

مثالی از یک نقشه‌ی چهاررنگ


به نقشه ی زیبای کشورمان ایران توجه کنید. روی این نقشه، هر استان به رنگی نمایش داده شده است. به علاوه دقت کنید، هیچ دو استان مجاور، به رنگ یکسان نیستند.

  

 

 

اگر بخواهیم ناحیه ای از صفحه را که به بخش های مجزا و مجاورِ هم تقسیم شده اند، به گونه‌ای رنگ کنیم که هیچ دو ناحیه‌ی مجاور به رنگ یکسان نباشند، حداکثر به چهار رنگ متفاوت نیاز است.

 

این مساله (حدس) اولین بار در سال ۱۸۵۲ مطرح شد. در آن هنگام فرانسیس گاتری (Francis Guthrie) مشغول رنگ‌آمیزی نقشه انگلستان بود که متوجه شد چهار رنگ برای این کار کافیست. فرانسیس این موضوع را با برادرش فردریک مطرح کرد، که بعدا وی آن را به پیش دِمُرگان برد. اولین منبع منتشر شده از آرتور کیلی است.

 

 

Francis Guthrie

 

تلاش‌های ناموفق بسیاری برای اثبات این قضیه انجام شده است. اثبات آلفرد کمپه در سال ۱۸۷۹ که بسیار مورد قبول واقع شد و اثبات دیگری که پیتر گاتری تیت در ۱۸۸۰ مطرح کرد، همگی از این دست بودند. هر دوی این اثبات‌های اشتباه، ۱۱ سال بعد از مطرح شدنشان به ترتیب توسط پرسی هیوود و ژولیوس پترسن نقض شدند.

 

 


غلامرضا پورقلی

دانشجوی دکتری ریاضی
دانشگاه تهران

هیچ نظری تا کنون برای این مطلب ارسال نشده است، اولین نفر باشید...

نوشتن دیدگاه