http://anymath.ir

انجمن دبیران ریاضیات

آموزش مجازی ریاضیات مدارس و دانشگاه های کشور

محاسبه سریع و ذهنی اعمال ریاضی (نویسنده : ادوارد اچ ج جولیوس)

نوشته شده توسط: Meysam Zarei در ۱۰ مهر ۱۳۹۲ ساعت ۲۱:۲۷
دسته بندی:  آموزش مجازی» آموزش دانشگاهی

 
مقدمه
به دنیای جذاب محاسبه ی سریع خوش آمدید ! از این که راهنمای شما هستم خوشبختم و قول می دهم این سفر را تا حد ممکن برای شما جالب و دلپذیر کنم.
برای برنامه ی خودآموزِ سرگرم کننده ای آماده شوید که نگرش شما را به اعداد برای همیشه دگرگون می کند. هر چه برای "محاسبه ی سریع" انرژی بیشتری صرف کنید ، احتمال این که در روش های مطرح شده خبره شوید بیشتر است ، پاداش شما استفاده از آن ها در عمل است.
این کتاب حاصل 30 سال آموزش ، تحقیق و به کار گرفتن روش­های محاسبه سریع ، در کلاسِ درس و خارج از آن است. بعضی از این روش ها در دنیای ریاضیات تقریباً مشهور است. سایر آن ها را شخصاً طی سال ها یافته ام ، مهم تر آن که بیشتر آن ها را دائماً به کار می بندم. شما هم با تمرین به چنین نقطه ای می رسید.
از این کتاب چه عایدمان می شود ؟
شاید فکر کنید " از این برنامه ی محاسبه ی سریع چه نصیبم می شود ؟ " "این موقیعت ها" را در نظر بگیرید :
آخرین باری که به سوپرمارکت رفته بودید و فقط 2000 تومان پول همراهتان بود یادتان می آید ؟ در صف جلوی صندوق ایستاده اید و از این که بیش از 2000 تومان خرید کرده اید به وحشت افتاده اید. چند مشتری دیگر ناظر بر این صحنه اند. شما می لرزید و در فکرید کدام جنس را به قفسه ی سوپرمارکت برگردانید. این را در نظر آورید که با بیرون انداختن شما از سوپرمارکت آبرویتان می رود.
فرض کنید با دوستانتان به رستوران رفته اید. پرداخت انعام 15 درصدی به شما محول شده است اما متوجه می شوید که ماشین حساب تان را گم کرده اید ، عرق سردی بر پیشانی شما می نشیند و از خود می پرسید : " حالا چه کنم " همه ی تجربه های زندگی تان از پیش چشم تان می گذرد. دوستانتان بی صبرانه منتظرند.
همان طور که احتمالاً حدس زده این این برنامه ی محاسبه ی سریع طوری طراحی شده است تا شما را در موضع قدرت قرار دهد به نحوی که دیگر هرگز از اعداد نترسید. اما صبر کنید ، چیزی بیش از این عایدتان می شود ؟ آگاهانه یا ناآگاهانه اعداد و رابطه ی آن ها را بهتر حس می کنید و به مهارت های ریاضی خود مطمئن تر می شوید و ترس و نگرانی شما از اعداد از بین می رود.
توانایی شما در پردازش و ضبط اطلاعات و همچنین اعتماد به نفستان افزای می یابد. فکر کنید هنگامی که دوستان و خویشاوندان را با نبوغ نویافته ی خود متعجب می سازید چه احساسی به شما دست می دهد ؟
مهمترین نکته آن که این برنامه برای شما پرکشش ، جالب و سرگرم کننده است.
مگر در عصر ماشین حساب نیستیم ؟
شاید از خود بپرسید : " چرا وقتی ماشین حساب همه ی این کارها را انجام می دهد مغزم را خسته کنم؟ " سؤال خوبی است ، اما فکر می کنم جواب های خوبی برای آن دارم.
* زمانی که در برنامه ی محاسبه ی سریع خبره شدید دیگر مغزتان خسته نمی شود.
* استفاده از ماشین حساب همیشه مجاز نیست. مثلاً در آزمون های استاندارد نباید از ماشین حساب استفاده کنید.
* گاهی استفاده از ماشین حساب زشت یا ناجور است. مثلاً اگر در مقام معلم دائم در حال محاسبه بر روی تخته سیاه باشید ، نمی خواهید به خاطر مراجعه ی مکرر به ماشین حساب بی استعداد به نظر بیایید.
* گاهی می خواهید محاسبه ای را محرمانه انجام دهید. مثلاً اگر فکر کنید که صندوق دار فروشگاه کمتر از آن چه باید به شما پول برگردانده ، نباید نشان دهید که در صلاحیت او شک کرده اید. در واقع در بعضی فرهنگ ها وارسی بقیه ی پول توهین به حسابدار محسوب می شود. به جای این کار شما با محاسبه ی ذهنی با اعتماد به نفس به حسابدار اعتراض می کنید و می دانید که حق با شماست. این امر به خصوص در رستوران کارساز است که فقط چند ثانیه برای وارسی صورت حساب وقت دارید.
* بسیاری از اوقات محاسبه ی ذهنی بسیار سریعتر از محاسبه با ماشین حساب انجام می شود. این امر خصوصاً در مواقعی درست است که جوابی تقریبی کفایت کند.
* ماشین حساب های جیبی آن قدر کوچک اند که استفاده از آن ها آدم را کور نمی کند.
چه چیز دیگری باید در مورد محاسبه ی سریع بدانیم ؟
هنگام کار کردن با برنامه ی محاسبه ی سریع ، لطفاً این نکات را به خاطر داشته باشید :
* برای خبره شدن در شگردهای مطرح شده سه کار باید انجام دهید - تمرین ، تمرین ، تمرین ! ( یعنی همان کاری که همه ی آدم های موفق کردند.)
* هر چه شگردهای بیشتری بیاموزید محاسبه ی سریع در مواقع بیشتری به کارتان می آید.
* شگرد تنها زمانی مفید است که پیچیده نباشد و حقیقتاً سریعتر از شیوه ی مرسوم باشد بنابراین جای شگرد 17 مرحله ای محاسبه ی تقسیم بر 483 در این کتاب نیست.
* حتی اگر شگردی یک پیکو ثانیه (یعنی یک تریلیونیم ثانیه یا -12 10 ثانیه ) در وقت ما صرفه جویی کند ارزش استفاده را دارد. بله ، شاید فقط لحظه ای صرفه جویی کند.
* چون معمولاً ، به سبب بعضی دلایل عجیب ، جمع و ضرب سریع تر و آسان تر از تفریق و تقسیم انجام می شود در موارد ممکن به آن سو هدایت می شوید.
* باید فوراً ماشین حساب تان را کنار بگذارید ! چند لحظه صبر می کنم که این کار را انجام دهید.
آیا آن چه برای این کار لازم است داریم ؟
برای آن که جادوگر محاسبه ی سریع بشوید لازم نیست نواده ی آلبرت انیشتین ، یا دانشمندان مطالعات موشکی باشید و یا در حساب دیفرانسیل مدرک عالی کسب کرده باشید. فقط لازم است از جمع ف تفریق ، ضرب و تقسیم درکی عمیق داشته باشید ، همین.
آه ، فراموش کردم بگویم که برای آن که تمرین های فکری " اختیاری " را حل کنید لازم است که از کسرهای اعشاری و متعارفی نیز درکی عمیق داشته باشید. مرور مفاهیم ریاضی اول کتاب به شما کمک زیادی می کند.
مهم ترین چیزی که برای برنامه ی محاسبه ی سریع لازم است اشتیاق به یادگیری آن است. مسلماً شما این اشتیاق را دارید.
برنامه ی محاسبه ی سریع را به گونه ای طراحی کرده ام که افرادی با سن ، سابقه و توانایی های گوناگون از آن استفاده کنند. به همین خاطر اگر سرعت مطالب برای شما بسیار کم یا زیاد است از صبوری شما و درک این مطلب تا ابد ممنون یا لااقل قدری سپاسگزارم.
آماده ایم ، از اینجا کجا برویم ؟
برای آن که از این برنامه به بهترین وجه استفاده کنید ابتدا مقدمه را تا آخر بخوانید. اگر معمولاً مقدمه ی کتاب ها را نمی خوانید (خودم هیچ وقت نمی خوانم) این یکی را بخوانید (حالا یک سوال یک میلیون تومانی : چطور شما را ترغیب کنم مقدمه ای را بخوانید که به شما می گوید حتماً این مقدمه را بخوانید ؟ به هر حال محکوم به خواندن این مقدمه هستید)
به هر طریق بعد از آن که مقدمه را خواندید پیش آزمونی را که در پی آن آمده حل کنید. سپس به جواب هایتان نمره بدهید - در آخر کتاب این پیش آزمون " تکرار می شود " . بعد بخش های " مرور سریع " ، " نمادها " ، " اصطلاحات " ، " جدول های ریاضی " ، " مجذورها " و " آزمون منطقی بودن" را بخوانید. آن گاه برای شروع برنامه ی 30 روزه آمادگی دارید.
می بینید که در درس دو شگرد گنجانده شده است. در هر شگر نقشه و مثال ها را بخوانید تا مفهوم محاسبه ی سریع و روش آن را خوب درک کنید. از " نکته هایی برای محاسبه ی سریع " سرسری نگذرید زیرا نگرش ویژه ای در مورد اعداد به دست می دهند. بعد تمرین های مقدماتی را انجام دهید و جواب آن ها را با جواب های انتهای کتاب مقایسه کنید.
اگر می خواهید در محاسبه ی سریع از حد پایه فراتر روید تمرین های " فکری " را حل کنید و جواب های خود را وارسی کنید. وقتی به شگرد محاسبه ی سریع جدیدی می رسید حتماً از شگردهایی که قبلاً آموخته اید استفاده کنید. مسلماً با تغییر دادن تعداد شگردهایی که هر روز می آموزید می توانید مدت برنامه را کوتاه یا بلند کنید. اما توصیه می کنم که برنامه را دو روزه ، با یادگیری 30 شگرد در هر روز ، تمام نکنید !
در آخر هفته با حل کردن " آزمون سریع " خود را بیازمایید. اگر تصمیم گرفته اید فقط در حد پایه کار کنید مسائل " فکری " را حل نکنید. وقتی درس روز سی ام را تمام کردید بار دیگر با حل مسئله های پیش آزمون و آزمون نهایی خود را بیازمایید و ببینید چقدر یاد گرفته اید.
سر انجام " نتیجه " را بوانید. این بخش حاوی توصیه های مهمی برای چگونگی به کارگیری این شگردها در مسائل روزمره و نیز چگونگی استمرار بخشیدن به قدرت محاسبه ی سریع است.
در کتاب چند " شگرد نمایشی " ، " شگفتی ریاضی " و " جنگ عددی " عالی برای سرگرمی آمده است. برای راحت تر شدن مراجعه ، خلاصه ی 60 شگرد محاسبه ی سریع در انتهای کتاب آمده است. از این منبع می توانید برای مرور سریع استفاده کنید.
کتاب را در زمان های مختلف بارها و بارها بخوانید - هدف آن است که این شگردها خود به خود به ذهن خطور کند. با گذشت زمان آن ها ملکه ی ذهن شما می شوند.
قابل توجه معلمان
کتاب شگردهای محاسبه ی سریع با هر کتاب دیگری که تاکنون دیده اید فرق دارد. مباحث ریاضی مرسوم در آن نیامده است و مستقیماً به برنامه ی درسی هیچ سالی مربوط نمی شود. با توجه به این مطلب شاید به ذهنتان برسد که آیا می توان این کتاب را در برنامه ی درسی مدارس گنجاند و چگونه ؟ شاید شک کنید که دانش آموزان بتوانند فکر محاسبه ی سریع را به تمامی جذب کنند.
اول آن که در نوشتن این کتاب تمام گروه های سنی در نظر گرفته شده اند. این کار آسان بود زیرا بیشتر مردم ، حتی بزرگسالانی که کارشان به ریاضیات مربوط می شود ، هرگز با روش های محاسبه ی سریع آشنا نشده اند. در حقیقت وقتی درباره ی این مطالب سخنرانی می کنم معمولاً معلم های ریاضی مشتاق ترین شنونده های من هستند ! به همین خاطر هم دانش آموز کلاس اول راهنمایی و هم مدیر بازرگانی می توانند از برنامه ی محاسبه ی سریع استفاده کنند.
اگر این کتاب را خیلی دست پایین بگیریم می توانیم آن را مکملی برای کتاب های درسی بدانیم. فقط دوازده یا بیست و چهار تا از این شگردها را مطرح کنید و از شاگردانتان بخواهید که فقط تمرین های ساده را انجام دهند. اگر دانش آموزانی بخواهند خودشان مطالب بیشتری یاد بگیرند ، طبیعت خودآموز بودن این کتاب به آن ها امکان می دهد که تمرین های " فکری " را حل کنند و شگردهای بیشتری هم یاد بگیرند.
در بهترین حالت ، این کتاب مبنای درسی کامل در محاسبه ی سریع است. با این که کوشش شده است هر شگرد به شکلی روشن و منطقی بیان شود هیچ چیز جای تدریس زنده و گام به گام در سر کلاس را نمی گیرد. در چنین حالتی نه تنها در هر گام به پرسش های دانش آموزان جواب می دهید بلکه هنگامی که سر کلاس مسائل کمکی را ( برای تثبیت یادگیری ) حل می کنند نیز مراقب پیشرفت آن ها هستید. ( با کمی خلاقیت و تجربه در می یابید که می توان این برنامه ی محاسبه ی سریع را در برنامه ی آموزش ریاضی هر سنی گنجاند و به این طریق برنامه ی آموزشی را بهبود بخشید. )
نکته ی آخر - کسی باید این سؤال را مطرح کند که : " اگر این روش های محاسبه ی سریع این قدر عالی است چرا به جای روش های مرسوم در مدارس تدریس نمی شود ؟ " جواب آن است که داشتن پایه ی قوی در " ریاضی مرسوم در مدارس " پیش نیاز درک مفاهیم ریاضی سریع است.
بسیار خوب ، قانع شدم . حالا می توانیم این روش ها را در عمل ببینیم ؟
بله ، به همان جایی رسیدیم که منتظرش بودید یعنی انتهای مقدمه ، پس کمربند خود را محکم ببندید و کلاه تفکر بر سر بگذارید و خود را برای درس ریاضی ای متفاوت با آن چه تا کنون دیده اید اماده کنید.
ادوارد جولیوس
پیش آزمون
چند محاسبه را می توانید در مدت دو دقیقه انجام دهید ؟
همه ی محاسبه های را تا حد ممکن سریع انجام دهید و از ماشین حساب استفاده نکنید. دو دقیقه فرصت دارید. و مسئله ها را با هر ترتیب که بخواهید می توانید حل کنید. زمانی که وقتتان تمام شد به صفحه ی بعد بروید و جواب مسئله های تان را مقایسه کنید (فعلا به جواب ها نگاه نکنید ! ) پس از آن که موفق شدید 60 روش محاسبه ی سریع مطرح شده در این کتاب را بیاموزید این مسئله ها را دوباره حل کنید.
1) 99 × 85 =
2 ) 700 ÷ 25 =
3 ) 3/5 × 110 =
4 ) 4600 ÷ 50 =
5 ) 1/9 × 210 =
6 ) 425 - 387 =
7 ) 31 × 31 =
8 ) 7 + 24 + 343 + 50 =
9 ) 22 × 18 =
10 ) 31/5 ÷ 3/5 =
11 ) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
12 ) 120 ÷ 1/5 =
13 ) 65 × 65 =
14 ) 74 × 101 =
15 ) 163 - 128 =
16 ) 109 × 104 =
جواب های پیش آزمون 


1) 99 × 85 = 8415
2 ) 700 ÷ 25 = 28
3 ) 3/5 × 110 = 385
4 ) 4600 ÷ 50 = 92
5 ) 1/9 × 210 = 399
6 ) 425 - 387 = 38
7 ) 31 × 31 = 961
8 ) 7 + 24 + 343 + 50 = 424
9 ) 22 × 18 = 396
10 ) 31/5 ÷ 3/5 =9 
11 ) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
12 ) 120 ÷ 1/5 = 80
13 ) 65 × 65 = 4225
14 ) 74 × 101 = 7474
15 ) 163 - 128 = 35
16 ) 109 × 104 = 11336
 
مروری سریع بر بعضی مفاهیم پایه ای ریاضی
1) تفریق عکس جمع است :
الف) اگر a – b = c ، آن گاه c + b = a
ب) پس اگر 10-3 = 7 ، آن گاه 7+3=10
2) تقسیم عکس ضرب است.
الف) اگر a ÷ b = c ، آن گاه c × b = a
ب) پس اگر 45 ÷ 9 = 5 ، آن گاه 5 × 9 = 45
3) در جمع و ضرب اصل جا به جایی صادق است :
الف) a + b = b + a ، پس 8 + 3 = 3 + 8
ب) a × b = b × a ، پس 8 × 3 = 3 × 8
4) قرار دادن صفر در سمت چپ عدد یا سمت راست ارقام بعد از ممیز در عدد تغییری ایجاد نمی کند.
الف) پس 84 = 084 = 0084 = 84/0 = 84/00 و به همین ترتیب .
ب) همچنین ، 26/6 = 026/9 = 26/90 = 26/900 و به همین ترتیب .
ج ) اما دقت کنید که 84 با 804 ، 4/7 با 4/07 و 5/3 با 50/3 برابر نیست.
5) برای ضرب کردن عدد در 10 ، 100 و نظیر آن کافی است تعداد مناسبی صفر در سمت راست عدد قرار دهید یا ممیز را به اندازه ی مناسب به راست ببرید.
الف) پس 26 × 10 = 260 و 95 × 100 = 9500
ب) همچنین 8/17 × 10 = 81/7 و 3/14 × 100 = 314
6) برای تقسیم کردن عدد بر 10 ، 100 و نظیر آن کافی است ممیز را به اندازه ی مناسب به چپ ببرید.
الف) پس 34 ÷ 10 = 3/4 و 691/5 ÷ 100 = 6/915
7) هنگام تقسیم می توانید از صفرهای "سمت راست" دو عنصر تقسیم به تعداد مساوی حذف کنید :
الف) پس 600 ÷ 30 = 60 ÷ 3 و 8000 ÷ 200 = 80 ÷ 2
 
4) = 6/2× 470
الف) 291/4
ب) 2,914
ج) 29,140
د) 29/14
5) = 398 + 187
الف) 485
ب) 585
ج) 685
د) 785
6) = 255 - 452
الف) 197
ب) 397
ج) 97
د) 297
( جواب : (1) د ، (2) الف ، (3) د ، (4) ب ، (5) ب ، (6) الف )
مثال 1 : 70 × 30
قدم 1 ) صفرها را نادیده بگیرید و به " 7 × 3 " فکر کنید.
قدم 2 ) ضرب کنید : ( حاصل ضرب میانجی ) 21 = 7 × 3
قدم 3 ) آزمون منطقی بودن (آ.م.ب) را به کار ببندید: چون در ابتدا دو صفر را نادیده گرفتید جلو حاصل ضرب میانجی دو صفر قراردهید تا پاسخ 2,100 به دست آید.




مثال 2 : 120÷4.800
قدم 1 ) صفرها را نادیده بگیرید و به " 12 ÷ 48 " فکر کنید.
قدم 2 ) تقسیم کنید : (خارج قسمت میانجی ) 4 = 12 ÷ 48
قدم 3 ) آ.م.ب را اعمال کنید : همان طور که قبلاً توضیح دادیم هنگام تقسیم می توان از سمت راست دو عدد به تعداد مساوی صفر حذف کرد. بنابراین مسئله به صورت 12 ÷ 480 در می آید. می دانیم که 4 = 12 ÷ 48 ، پس جواب 12 ÷ 48 باید 40 شود.



مثال 3 : 900÷4,500
قدم 1 ) صفرها را نادیده بگیرید و به " 9 ÷ 45 " فکر کنید.
قدم 2 ) تقسیم کنید : 5 = 9 ÷ 45 . ( این عدد پاسخ است زیرا از مقسوم و مقسوم علیه به یک اندازه صفر برداشتیم.)

نکته ای برای محاسبه ی سریع :
 در عددی نظیر 800/6 نمی توان دو صفر را نادیده گرفت ، زیرا صفرها درست در سمت راست عدد قرار ندارند.
تمرین مقدماتی 


در زیر تمرین هایی آمده است. یادتان نرود که در ابتدای محاسبه صفرها را نادیده بگیرید.
1) = 7 × 40
2) = 800 × 6
3) = 30 × 500
4) = 90 × 60
5) = 120 × 70
6) = 150 × 15
7) = 50 × 400
8) = 400 × 24
9) = 900 × 3.600
10) = 7 × 5.600
11) = 130 × 5.200
12) = 16 × 800
13) = 60 × 42.000
14) = 90 × 1.800
 
ادامه دارد...

نظرات کاربران:

   محمد در ۱۳۹۳/۰۶/۲۹ - ۲۳:۲۸:۴۰
تا یک حدی خوبه ولی من دنبال پیشرفته تر از این ها هستم بعد از چهار عمل اصلی و توان رسانی و جذر گیری می خواهم در کار تجزیه ی عبارت های جبری، استفاده از اتحاد ها، مشتق گیری و انتگرال گیری هم سرعت عمل پیدا کنم و یک سری نیاز هام را در المپاد فیزیک که حدود چهار ماه دیگه دارم و بحث ریاضیات برطرف کنم و تقویت بشم این طور محاسبه واقعا می تونه یک وجه تمایزی برای آدم نسبت به دیگران باشه از شما هم برای کار خوبتون متشکرم و درخواس دارم به این کار ادامه بدید، خدا پشت و پناهتون باشه انشاالله. در ضمن یک کتابی هم هست به نام vedic mathematic که از دانلود ها می شه دانلود کرد نکات جالبی داشت. البته ترجمه نشده است.
پاسخ مدیر (riazidanan):  با سپاس از شما برای اظهار لطفتون و معرفی کتاب جدید .
پاینده باشین دوست عزیز.


نوشتن دیدگاه