کتاب 102 مساله ترکیبیات

کتاب 102 مساله ترکیبیات که در ادامه برای دانلود قرار گرفته کتابی عالی در زمینه ترکیبیات است که از دو سطح سوال پیشرفته و مبتدی تشکیل شده و کتابی در سطح متوسط است این کتاب برای کسانی که در زمینه ی المپیاد فعالیت دارند مخصوصا کامپیوتر و ریاضی توصیه می شود.

انتشارات فاطمی

پیشگفتار
این کتاب شامل 102 مسأله ترکیبیات است که با دقت فراوان از میان مسأله‌هایی که برای آموزش و سنجش اعضای تیمهای اعزامی از امریکا به المپیاد بین‌المللی ریاضی استفاده شده دست‌چین شده‌اند. این کتاب مجموعه‌ای از سؤالهای بسیار دشوار و غیرقابل فهم نیست. مسأله‌های این کتاب طوری انتخاب و مرتب شده‌اند که مهارتها و توانایی‌های دانش‌آموزان در ترکیبیات رفته‌رفته گسترش یابند. هدف این کتاب، وسعت بخشیدن به دیدگاه ریاضی دانش‌آموزی است که می‌خواهد در مسابقه‌های ریاضی شرکت کند. آشنایی با فنون و رموز مسأله حل کردن باعث ایجاد علاقه به ترکیبیات و سایر شاخه‌های ریاضی می‌شود. 

مقدمه 
در ایالات متحده‌ٔ امریکا، مراحل انتخاب اعضای تیم برای شرکت در المپیاد بین‌المللی ریاضی از چند مسابقه‌ٔ ملی تشکیل شده است که عبارت‌اند از مسابقه‌ٔ ریاضی امریکا – 10، مسابقه‌ٔ امریکا – 12؛ آزمون دعوتی ریاضیات امریکا و المپیاد ریاضی ایالات متحده‌ٔ امریکا. شرکت در آزمون دعوتی ریاضیات امریکا و المپیاد ریاضی ایالات متحدهٔ امریکا منحصراً از طریق دعوت از دانش‌آموزان، براساس نتایج آنها در امتحانهای مراحل قبلی ممکن است. دوره‌ٔ تابستانی المپیاد ریاضی دوره‌ای آموزشی و چهار هفته‌ای فشرده برای حدود یکصد تن از دانش‌آموزان فوق‌العاده مستعدی است که برترینهای مسابقه‌های ریاضی امریکا شناخته شده‌اند. شش دانش‌آموزی که اعضای تیم ایالات متحده‌ٔ امریکا درالمپیاد بین‌المللی ریاضی هستند، براساس نمره‌هایشان در المپیاد ریاضی ایالات متحده‌ٔ امریکا و امتحانات دیگری که در خلال دورهٔ تابستانی المپیاد ریاضی برگزار می‌شوند انتخاب می‌شوند. دانش‌آموزان در دوره‌ٔ تابستانی المپیاد ریاضی، روزهایی پرمشغله دارند، باید در کلاسها شرکت کنند و برای آمادگی پیدا کردن در چند شاخه مهم ریاضیات تعداد زیادی مسأله را حل کنند. موضوعاتی که مطرح می‌شوند شامل استدلالها و اتحادهای ترکیبیاتی، تابعهای مولد، نظریه‌ٔ گراف، رابطه‌های بازگشتی، مجموعها و حاصل‌ضربها، احتمالات، نظریهٔ اعداد، چند جمله‌ایها، نظریه‌ٔ معادلات، اعداد مختلط در هندسه، اثباتهای الگوریتمی، هندسه‌ٔ ترکیبیاتی و پیشرفته، معادلات تابعی و نابرابریهای کلاسیک است. 
امتحانات نهایی از نوع المپیاد از چند مسألهٔ پیکارجو اما ساده‌فهم تشکیل می‌شوند. معمولاً برای پیدا کردن راه‌حلهای درست باید تحلیلی عمیق و استدلالی دقیق کرد. ممکن است سؤالهای المپیادی برای تازه‌کاران گیج‌کننده به‌نظر برسد، با این حال اکثر این سؤالها را می‌توان با فنون ریاضیات دبیرستانی، که البته هوشمندانه به‌کار برده می‌شوند، حل کرد. 
به دانش‌آموزانی که می‌خواهند مسأله‌های این کتاب را حل کنند چند توصیه می‌کنیم. 
•    مواظب وقتتان باشید! تعداد بسیار کمی از شرکت‌کنندگان می‌توانند همه‌ٔ مسأله‌های داده شده را حل کنند. 
•    سعی کنید ارتباطی بین مسأله‌ها پیدا کنید. موضوع مهم این است که همه‌ٔ فنون و ایده‌های مهمی که در این کتاب آمده‌اند بیشتر از یک بار به‌کار می‌آیند!
•    راه‌حل مسأله‌های المپیادی بلافاصله به ذهن نمی‌آید. حوصله کنید. شیوه‌های مختلفی را بیازمایید. حالتهای ساده را بررسی کنید. گاهی استفاده از روش بازگشت از حکم خواسته شده مفید است. 
•    حتی اگر مسأله‌ای را حل کردید راه‌حل آن را بخوانید. ممکن است در این راه‌حل ایده‌هایی مطرح شده باشد که در راه‌حل شما نباشد و در راه‌حلها از فوت‌وفنهایی بحث شده باشد که جای دیگر نیز به‌کار می‌آیند. همچنین، این راه‌حلها نمونه‌هایی از راه‌حلهای زیبایی هستند که می‌توانید از آنها الگوبرداری کنید، البته معمولاً در آنها فرایند پیچیده‌ای که منجر به کشف راه‌حل شده نامشخص است، همین‌طور گامهای ابتدایی که اشتباه بوده‌اند، ایده‌های بکر و توجه به جزئیات. وقتی که راه‌حلها را می‌خوانید، سعی کنید تفکراتی را که در پس آنهاست بازسازی کنید. از خودتان بپرسید: «ایده‌های کلیدی کدام‌اند؟ چگونه می‌توانم باز هم از این ایده‌ها استفاده کنم؟»
•    بعد ببینید که آیا می‌توانید مسأله را از راه دیگری حل کنید؟ خیلی از مسأله‌ها چندین راه‌حل دارند، اما همه‌ٔ آنها را در این کتاب نیاورده‌ایم. 
•    مسأله‌ حل کردن هدفمند احتیاج به تمرین دارد. اگر در ابتدا مشکل داشتید ناامید نشوید. 

آمادگی برای المپیاد ریاضی 
تلاشهای گسترده‌ای که در سالهای اخیر برای بهبود وضعیت آموزش ریاضیات در سطوح مختلف صورت گرفته است دو هدف عمده پیش روی خود دارد: عمومی‌ کردن ریاضیات و تربیت نخبگان. هدف اول از این رو اهمیت دارد که در آستانهٔ قرن بیست‌ویکم میلادی «سواد ریاضی» ضرورتی عام پیدا کرده است، و هدف دوم نیز از هدفهای ارزشمند جوامع مدنی است. لذا کاملاً ضروری است که در پی دست‌ یافتن به پیشرفتهای بیشتری در این باره باشیم و ابزارهای جدیدی برای شناسایی و پرورش استعدادهای بالقوه‌ٔ جامعهٔ خود جستجو کنیم. 
آموزشهای رسمی با توجه به گستردگی پهنهٔ عملکرد، معمولاً میانگین دانش‌آموزان را از نظر علاقه و استعدادهای ویژه مخاطب خود قرار داده است. از این‌رو برای پرورش استعدادها و شکوفایی خلاقیتها، آموزشهای جانبی و غیررسمی و برنامه‌هایی نظیر المپیاد ریاضی اهمیت ویژه‌ای دارد. 
اگر به تاریخ نگاهی بیفکنیم سال 1894 شاید نقطه‌ٔ آغاز مسابقات علمی در عصر جدید باشد. در این سال مسابقه‌ٔ اتووش به نام بارون لوراند اتووش ¹ به‌صورت مسابقه‌ٔ ریاضی دانش‌آموزی در مجارستان شروع شد. مسائل این مسابقه به دلیل سادگی مفاهیم به‌کار گرفته شده هنوز هم جذاب است. پس از آن، طی سالها، مسابقات ریاضی در کشورهای مختلف جهان شکل گرفت و جایگاه ویژه‌ای پیدا کرد تا اینکه در سال 1959 رومانی پیشگام راه‌اندازی المپیاد بین المللی ریاضی شد و از 7 کشور اروپای شرقی برای شرکت در این المپیاد دعوت کرد و اولین المپیاد از 20 تا 30 ژوئیهٔ 1959 در بخارست برگزار شد. کم‌کم کشور‌های دیگری نیز به المپیاد بین‌المللی پیوستند و در حال حاضر این مسابقه، که هر سال در یک کشور برگزار می‌شود، معتبر‌ترین مسابقه‌ٔ بین‌المللی دانش‌آموزی است. 
مسابقات دانش‌‌آموزی در کشور ما نیز رفته‌رفته جایگاه ویژه‌ای یافته است؛ اولین مسابقه‌ٔ ریاضی دانش‌آموزی در فروردین 1362 بین دانش‌آموزان برگزیدهٔ سرتاسر کشور برگزار شد و برای اولین بار در سال 1366 تیمی از کشورمان به المپیاد بین‌المللی اعزام گردید. پس از آن دانش‌آموزان زیادی در سرتاسر کشور مشتاقانه به این رقابت روی آوردند. 
در المپیاد ریاضی آنچه که اهمیت دارد توانایی مسأله حل کردن است، ولی باید توجه داشت که راه‌حل مسأله‌ای با ارزش به‌ندرت آسان و بدون زحمت به‌دست می‌آید؛ بلکه حاصل ساعتها تلاش فکری است. تلاشی که ذهنهای شاداب و جوان برای انجام آن تمایل بسیاری دارند. 
بدیهی است که اگر این تلاشها با برنامه‌ای دقیق و منظم شکل گیرد، سریعتر و بهتر به شکوفایی استعدادهای خلاق می‌انجامد. از این رو مؤسسه انتشارات فاطمی به انتشار مجموعه‌ٔ آمادگی برای المپیاد ریاضی اهتمام ورزیده است. این مجموعه شامل سه‌ دسته کتاب است: 
دسته‌ٔ اول (کتابهای زرد) شامل کتابهایی مقدماتی با پیشنیاز ریاضیات 2 در زمینه‌های ترکیبیات، هندسه، نظریه‌ٔ اعداد، آنالیز و جبر است. 
دسته‌ٔ دوم (کتابهای نارنجی) شامل کتابهای پیشرفته‌تر و مجموعهٔ مسائل و کتابهای کلاسیک المپیاد ریاضی در سطح بین‌المللی است، و بالاخره
دسته‌ٔ سوم (کتابهای قرمز) شامل کتابهای پیشرفته دربارهٔ المپیاد ریاضی است. 
مجموعه‌ٔ آمادگی برای المپیاد ریاضی مجموعه‌ای است منظم و برنامه‌ریزی شده برای همهٔ چالشگرانی که در ریاضیات زیباشناختی خاصی می‌بینند و در جهت نوآوریهای ذهنی تلاش می‌کنند.

این کتاب از دسته‌ٔ دوم و شامل 102 مسأله ترکیبیات است که با دقت فراوان از میان مسأله‌هایی که برای آموزش اعضای تیمهای اعزامی از امریکا به المپیاد بین‌المللی ریاضی استفاده شده دست‌چین شده‌اند. 
مسأله‌های این کتاب طوری انتخاب و مرتب شده‌اند که مهارتها و تواناییهای دانش‌آموزان در ترکیبیات رفته‌رفته گسترش یابند. 

 فهرست مطالب کتاب