http://anymath.ir

انجمن دبیران ریاضیات

آموزش مجازی ریاضیات مدارس و دانشگاه های کشور

چند مساله‌ی ساده از ریاضیات کاربردی

نوشته شده توسط: Meysam Zarei در ۱۱ مهر ۱۳۹۲ ساعت ۲۲:۵۸
دسته بندی:  آموزش مجازی» آموزش دانشگاهی

 

 


 

مقدمه


تجربه نشان داده است که استفاده از مساله‌های کاربردی در درس‌های ریاضی، تنها وقتی می‌تواند تاثیر آموزشی مطلوب داشته باشد که:

 

1.  بتوان آن‌ها را به صورتی کوتاه تنظیم کرد.
2. دانش‌آموزان، مفهوم‌های مربوط به آن‌ها را بشناسند و بتوانند آن‌ها را به سادگی تعریف کنند و یا دست کم، به طور شهودی برای آن‌ها روشن باشند.
3. استفاده از ریاضیات برای حل آن‌ها، وقت زیادی از دانش‌آموز را به خود نگیرد.
4. حل آن‌ها، از لحاظ زندگی، عمل و یا صنعت، اهمیت درجه‌ی اول داشته باشد.

 


نباید مساله‌هایی را طرح کرد که، توضیح بخش کاربردی آن، نیاز به صرف وقت و انرژی زیادی داشته باشد، در حالی که بخش ریاضی آن از چند سطر تجاوز نکند. همچنین، از مساله‌هایی هم که، برای حل ریاضی آن‌ها، مساله‌ها و مفهوم‌های پیچیده ای از ریاضیات لازم است، باید پرهیز کرد. در چارچوب درس‌های دبیرستانی، کاربرد روش‌های ریاضی را باید روی نمونه‌های ساده، مهم و جلب کننده نشان داد. روشن است که، مساله‌های کاربردی، وقتی تاثیر روانی و آموزشی مثبتی بر دانش‌آموز می گذارند، که با درس مورد بحث کلاس، رابطه‌ی مستقیم داشته باشند.

 

در این‌جا، چند مساله‌ی عملی می‌آوریم که با این شرط‌ها سازگارند. قبل از تنظیم مساله شرح کوتاهی از موقعیت مساله می‌دهیم. این شرح لازم است، زیرا دانش‌آموز را با اصطلاح‌هایی که در مساله به کار رفته است آشنا می‌کند و مهم‌تر از آن، علاقه‌ی دانش‌آموز را به طرف آن جلب می کند.


 

 

1. یکی از ساده‌ترین کاربردهای روش مختصاتی در مهندسی، به نقشه برداری زمین (ژئودزی) مربوط می شود. یک مساله از این گونه را می‌آوریم که به نقشه‌ی راهی که باید در جنگل به‌وجود آید و یا تونلی که از درون کوه کشیده شود، مربوط می‌شود، یعنی وقتی که امکان هیچ گونه اندازه‌گیری مستقیم وجود ندارد.

 

 

 

 

 

 

مساله‌ی مستقیم زمین‌سنجی.

 

مطلوب است جای نقطه‌ی B، پایان مسیری که نقطه‌ی آغاز آن (A)، طول آن L=|AB| و جهتی که راس السمت α یعنی زاویه‌ی انحراف مسیر نسبت به محور قائم را معین می کند، در اختیار داشته باشیم.

 

حل: اگر نقطه‌ی A را به مختصات (x1, y1) و نقطه‌ی B را به مختصات (x2, y2) بگیریم (شکل 1)، جای نقطه ی B با دستورهای زیر به دست می آید:

 

 

 

شکل 1
 

یادآوری می‌کنیم که، در زمین سنجی، محور قائم را با Ox و محور افقی را با Oy  نشان می‌دهند.

 

مساله‌ی معکوس زمین سنجی.

 

با در دست داشتن نقطه‌ی پایان مسیر AB (شکل 1)، طول مسیر و جهت آن را پیدا کنید.
برای حل مساله، باید از دستورهای زیر، که برای ما آشنا هستند، استفاده کنیم:

 

 


سادگی و در عین حال، جالب بودن مساله‌های مربوط به زمین سنجی، نمی‌تواند موجب توجه و علاقه‌ی دانش‌آموز نشود. این مساله‌ها، اهمیت روش مختصاتی را نشان می‌دهند و کاربرد دستورهای ساده‌ی مربوط به این روش را، در برابر او قرار می‌دهند.

 


 

 

2. در شکل 2، مقطع یک کانال نشان داده شده است، اغلب کانال‌ها به همین شکل‌اند (ABCD، یک ذوزنقه است و، در ضمن |AB|=|CD|). این نامگذاری‌ها را می پذیریم:

 

 

  

 

 

 

 
مقدار w را مقطع مفید، u را محیط مفید و m  را نهاد ضریبی شیب که با نوع خاک معین می‌شود، می‌نامند (مثلا، برای سنگی m=1). برای طرح‌ریزی کانال‌ها، معمولا به این طریق عمل می‌کند که، با مفروض بودن مقدارهای w و  m حداقل مقدار u را به دست آورند. در این صورت، مقدار آبی که از راه کف کانال و بدنه‌ی آن، در زمین نفوذ می‌کند (و در نتیجه، به هدر می‌رود) به حداقل خود می‌رسد، بنابراین، سرعت جریان آب، یعنی نیروی عبور آب از کانال به حداکثر مقدار خود می‌رسد (در ضمن، آب ذخیره، کمتر به هدر می‌رود).
 


 

شکل 2

 


مساله: w و m را مفروض می‌گیریم. در حالتی که u=u(h)  حداقل مقدار ممکن است، عمق جریان آب، یعنی h0 را پیدا کنید.


حل: به‌سادگی به‌دست می‌آید:

 

 

 

  را k می‌نامیم، در این صورت خواهیم داشت:

 

 


 مقدار مشتق h'(u) ، در نقطه ی h0، از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد و بنابراین، به ازای h=h0 ، به مینیمم خود می‌رسد.


 

3. برای هر دستگاه حرارت مرکزی (شوفاژ سانترال)، در بالاترین نقطه‌ی ساختمان، به اصطلاح ظرف اتساع  قرار دارد که آب اضافی، ضمن گرم شدن، وارد آن می‌شود. این ظرف را به شکل استوانه یا مکعب مستطیل می‌سازند که سرپوش هم دارد و از ورقه‌های فولادی درست می‌شود که، کم ‌و ‌بیش، گران قیمت است. بنابراین، حل مساله زیر اهمیت پیدا می‌کند.

 

مساله: با معلوم بودن حجم V از ظرف اتساع، که به شکل استوانه ساخته می‌شود، چه اندازه‌هایی را برای استوانه در نظر بگیریم که از حداقل ورقه‌های فولادی استفاده شود (از کناره‌های باریکی که به هدر می‌رود، صرف نظر می‌کنیم، ضخامت ورقه‌ی فولادی در کف، کناره‌ها و سرپوش، یکسان است).


حل: مساله منجر به پیدا کردن اکسترمم این تابع می‌شود:

 


که در آن، R، شعاع قاعده‌ی استوانه است. داریم:

 


مشتق در نقطه ی   ، از منفی به مثبت، تغییر علامت می‌دهد، یعنی تابعS(R) به ازای R=R0 به مینیمم خود می‌رسد. در ضمن در این حالت، ارتفاع استوانه H=2R0 می شود، یعنی باید مقطع ظرف اتساع با صفحه‌ای که از مرکز دو قاعده‌ی آن می‌گذرد، یک مربع باشد. در واقع داریم:

 

 


یک مثال ساده‌ی عملی دیگر، برای مساحت به کمک انتگرال می‌آوریم.
کانال‌هایی که برای عبور آب (و مثلا آبیاری) تعبیه می‌کنند، اغلب به شکل سهموی می‌سازند، در این جا، باید مفید‌ترین شکل مقطع این کانال را پیدا کرد.


مساله: دستوری برای مساحت مقطع یک سهموی پیدا کنید که قاعده‌ای برابر 2a و ارتفاعی برابر h داشته باشد (شکل 3)

 

 

 

شکل 3
 


حل. معادله‌ی سهمی (|AB|=2a) AOB  را به‌صورت y=kx2 می‌نویسیم. چون نقطه (B(a, h  متعلق به سهمی است، بنابراین h=ka2 و از آن‌جا K=h/a2 . اگر مساحت مقطع را S بگیریم، داریم:

 


و از آن‌جا به‌دست می‌آید:

 

 


غلامرضا پورقلی

دانشجوی دکتری ریاضی
دانشگاه تهران

هیچ نظری تا کنون برای این مطلب ارسال نشده است، اولین نفر باشید...

نوشتن دیدگاه